Demostrar Identidades Polinómicas
Alineada a A-APR.C.4, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Una identidad polinómica es verdadera para todo valor de la variable. Se demuestra desarrollando ambos lados con álgebra hasta que coincidan, y luego se puede usar para simplificar cálculos numéricos.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Demuestra (a + b)(a − b) = a^2 − b^2. Desarrolla el lado izquierdo: a×a − a×b + b×a − b×b = a^2 − ab + ab − b^2 = a^2 − b^2. Úsala para calcular 21 × 19 = (20 + 1)(20 − 1) = 400 − 1 = 399.
Ejemplo 2
Demuestra (a + b)² = a² + 2ab + b² y úsalo mentalmente. Desarrolla: (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². Ahora calcula 102² sin calculadora: (100 + 2)² = 10,000 + 2(100)(2) + 4 = 10,404. La identidad convierte un cuadrado difícil en tres piezas fáciles.
Ejemplo 3
Error común: demostrar una identidad comprobando un solo número. Probar a = 2, b = 3 en (a + b)² = a² + b² da 25 contra 13 — eso la REFUTA, y un solo contraejemplo basta para refutar. Pero un caso que funciona no demuestra nada: (a + b)² = a² + b² resulta cierta cuando b = 0. Para DEMOSTRAR una identidad hay que transformar un lado en el otro con reglas válidas para todos los valores.
Preguntas de práctica
- Demuestra (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 desarrollando.
- Usa la identidad a^2 − b^2 para calcular 51 × 49.
- Verifica (a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 para a = 1, b = 2.
Mira la lección
Esta lección tiene video en español: el mismo que abre el código QR del cuaderno impreso.
▶ Ver la lección en videoMás lecciones de Álgebra
Enseña esta lección hoy
Un tutor con IA que guía con preguntas en lugar de solo dar las respuestas: todas las materias básicas de K–12, para cada hijo de la familia.
Comienza la prueba gratis — sin tarjeta