Suma de una Serie Geométrica Finita
Alineada a A-SSE.B.4, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Una serie geométrica suma términos con una razón constante r. La suma de n términos que empieza en a es S = a(1 − r^n)/(1 − r), que se obtiene al restar r×S de S para cancelar los términos intermedios.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Encuentra 3 + 6 + 12 + 24 + 48. Aquí a = 3, r = 2, y n = 5 términos. S = 3(1 − 2^5)/(1 − 2) = 3(1 − 32)/(−1) = 3(−31)/(−1) = 93.
Ejemplo 2
Un plan de ahorro deposita $200 al inicio de cada año y gana 5% anual. Tras 10 años los depósitos han crecido a 200(1.05)¹⁰ + ... + 200(1.05)¹. Esa es una serie geométrica con a = 200(1.05) = 210 y r = 1.05, así que S = 210(1.05¹⁰ − 1)/(1.05 − 1) = 210(0.6289)/0.05, unos $2,641.
Ejemplo 3
Error común: usar la fórmula de la suma en una sucesión que no es geométrica. En 2, 4, 6, 8 los términos crecen SUMANDO 2, así que la razón 4/2 = 2 pero 6/4 = 1.5 — es aritmética y necesita S = n(primero + último)/2 = 4(2 + 8)/2 = 20. Comprueba la razón entre al menos dos PARES consecutivos antes de recurrir a a(1 − rⁿ)/(1 − r).
Preguntas de práctica
- Encuentra la suma 5 + 15 + 45 + 135.
- Usa la fórmula para sumar los primeros 6 términos de a = 2, r = 3.
- Una pelota cae y cada rebote alcanza 1/2 de la altura: suma 100 + 50 + 25 + 12.5.
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