Reescribir Expresiones Racionales
Alineada a A-APR.D.6, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Una expresión racional se puede reescribir como un cociente más un residuo sobre el divisor, en la forma q(x) + r(x)/b(x). Usa la división larga de polinomios, o factoriza y cancela cuando el numerador se factoriza de forma exacta.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Reescribe (x^2 + 3x + 5)/(x + 1). Divide x^2 + 3x + 5 entre (x + 1). x por (x + 1) es x^2 + x, deja 2x + 5; 2 por (x + 1) es 2x + 2, deja residuo 3. Así que el resultado es x + 2 + 3/(x + 1).
Ejemplo 2
Simplifica (x² − 9)/(x² + x − 6). Factoriza ambos: arriba queda (x − 3)(x + 3) y abajo (x + 3)(x − 2). Cancela el factor común (x + 3) para obtener (x − 3)/(x − 2). Observa que la expresión original no estaba definida en x = −3 ni en x = 2, y la forma simplificada debe conservar esa restricción: x ≠ −3.
Ejemplo 3
Error común: cancelar términos en vez de factores. En (x + 4)/x no puedes tachar la x para obtener 4 — cancelar es dividir, y solo se aplica a FACTORES completos multiplicados. Pruébalo con x = 4: (4 + 4)/4 = 2, no 4. Factoriza por completo primero; si una parte está unida a su vecina por + o −, no se puede cancelar.
Preguntas de práctica
- Simplifica (x^2 − 4)/(x − 2) factorizando.
- Divide (x^2 + 5x + 6)/(x + 2).
- Reescribe (2x^2 + x − 1)/(x + 1) como cociente más residuo.
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