El Teorema del Residuo
Alineada a A-APR.B.2, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Cuando un polinomio p(x) se divide entre (x − a), el residuo es igual a p(a). Así puedes encontrar el residuo solo evaluando el polinomio en a, sin hacer la división completa.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Encuentra el residuo cuando p(x) = x^3 − 2x^2 + 5x − 1 se divide entre (x − 2). Por el teorema, el residuo es p(2) = 8 − 8 + 10 − 1 = 9. Así que dividir deja un residuo de 9.
Ejemplo 2
Usa el teorema como prueba de factor. ¿Es (x + 3) un factor de p(x) = x³ + 2x² − 5x − 6? El factor (x + 3) significa c = −3, así que evalúa p(−3) = −27 + 18 + 15 − 6 = 0. El residuo es 0, así que sí, (x + 3) es factor — sin necesidad de hacer la división larga.
Ejemplo 3
Error común: usar el signo equivocado para c. Dividir entre (x + 4) significa c = −4, porque x + 4 = x − (−4). Evaluar p(4) responde a una pregunta totalmente distinta. Escribe primero el divisor en la forma (x − c) y lee c directamente — para (x + 4) eso da c = −4, y para (x − 4) da c = 4.
Preguntas de práctica
- Encuentra el residuo cuando p(x) = x^2 + 3x − 4 se divide entre (x − 1).
- Usa el teorema para hallar el residuo de x^3 − 8 dividido entre (x + 2).
- ¿Es (x − 3) un factor de x^2 − 9? Explica usando p(3).
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