Transformaciones como funciones
Alineada a G-CO.A.2, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Una transformación es una regla (una función) que asigna a cada punto del plano un punto imagen. Los movimientos rígidos (traslaciones, rotaciones, reflexiones) conservan la distancia y el ángulo, así que la imagen tiene el mismo tamaño y forma. Las transformaciones no rígidas, como una dilatación con factor de escala distinto de 1, cambian las distancias.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
La traslación (x, y) -> (x + 3, y - 2) es una función sobre puntos. Aplícala a A(1, 4): la imagen es (1 + 3, 4 - 2) = (4, 2). Aplícala a B(1, 1): la imagen es (4, -1). La distancia AB era 3; la distancia entre las imágenes también es 3, así que se conserva la distancia — es un movimiento rígido.
Ejemplo 2
La rotación de 90° en sentido antihorario alrededor del origen es la función (x, y) -> (-y, x). Aplícala a P(3, 1): la imagen es (-1, 3). Aplícala a Q(3, 4): la imagen es (-4, 3). La distancia PQ era 3, y la distancia entre las imágenes, de (-1,3) a (-4,3), también es 3. La distancia se conserva, así que esta también es una transformación rígida.
Ejemplo 3
Error común: llamar transformación rígida a cualquier transformación. La dilatación (x, y) -> (2x, 2y) es una función perfectamente válida sobre puntos, pero NO es rígida: A(1, 0) y B(3, 0) distan 2, mientras que sus imágenes (2, 0) y (6, 0) distan 4. Una transformación merece el nombre de rígida solo si conserva la distancia para TODO par de puntos — que un par se salve no es una demostración.
Preguntas de práctica
- Aplica la regla (x, y) -> (x - 5, y + 1) al punto (2, 3).
- La regla (x, y) -> (2x, 2y) duplica las coordenadas. Muestra que NO es un movimiento rígido comparando la distancia de (0,0) a (1,0) antes y después.
- ¿Es una reflexión un movimiento rígido? Indica qué conserva.
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