Congruencia mediante movimientos rígidos
Alineada a G-CO.B.6, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Dos figuras son congruentes exactamente cuando alguna secuencia de movimientos rígidos mapea una sobre la otra. Como los movimientos rígidos conservan la distancia y el ángulo, las figuras congruentes tienen lados y ángulos correspondientes iguales. Para decidir la congruencia, busca un mapeo.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
El segmento AB tiene A(0,0), B(3,0). El segmento CD tiene C(1,2), D(1,5). ¿Es AB congruente con CD? Longitud AB = 3, longitud CD = |5 - 2| = 3. Una rotación de 90° más una traslación lleva AB sobre CD, así que son congruentes. Las longitudes iguales confirman que existe un movimiento rígido.
Ejemplo 2
El triángulo ABC tiene A(0,0), B(2,0), C(0,3). El triángulo PQR tiene P(5,1), Q(5,3), R(8,1). ¿Son congruentes? AB = 2 y PQ = 2; AC = 3 y PR = 3; ambos tienen un ángulo recto en el primer vértice. Rotar ABC 90° en sentido horario y trasladarlo por (5, 1) lleva A a P, B a Q y C a R, así que los triángulos son congruentes.
Ejemplo 3
Error común: concluir congruencia a partir de áreas o perímetros iguales. Un rectángulo de 6 por 2 y uno de 4 por 3 tienen área 12, pero ninguna transformación rígida lleva uno al otro — habría que estirarlo. Igualmente, un triángulo 3-4-5 y uno 2-5-5 tienen perímetro 12 y no son congruentes. Congruencia significa que existe una transformación rígida, lo cual exige que TODAS las distancias correspondientes coincidan, no un solo número resumen.
Preguntas de práctica
- El triángulo 1 tiene lados 5, 6, 7. El triángulo 2 tiene lados 5, 6, 7. ¿Puede un movimiento rígido mapear uno sobre el otro?
- Una figura se refleja y luego se traslada. ¿Es la imagen congruente con la original? Explica usando las cantidades que se conservan.
- Dos rectángulos miden ambos 4 por 9 pero están en lugares y orientaciones distintas. ¿Son congruentes? Justifica.
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