Transformations as Functions
Aligned to G-CO.A.2 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
A transformation is a rule (a function) that assigns each point in the plane to an image point. Rigid motions (translations, rotations, reflections) preserve distance and angle, so the image is the same size and shape. Non-rigid transformations, like a dilation with scale factor not equal to 1, change distances.
Worked examples
Example 1
The translation (x, y) -> (x + 3, y - 2) is a function on points. Apply it to A(1, 4): image is (1 + 3, 4 - 2) = (4, 2). Apply it to B(1, 1): image is (4, -1). Distance AB was 3; distance between images is also 3, so distance is preserved — it is a rigid motion.
Example 2
The rotation of 90° counterclockwise about the origin is the function (x, y) -> (-y, x). Apply it to P(3, 1): the image is (-1, 3). Apply it to Q(3, 4): the image is (-4, 3). Distance PQ was 3, and the distance from (-1, 3) to (-4, 3) is also 3. Distance is preserved, so this too is a rigid motion.
Example 3
Common mistake: calling every transformation a rigid motion. The dilation (x, y) -> (2x, 2y) is a perfectly good function on points, but it is NOT a rigid motion: A(1, 0) and B(3, 0) are 2 apart, while their images (2, 0) and (6, 0) are 4 apart. A transformation earns the name rigid only if distance is preserved for EVERY pair of points — one surviving pair is not a proof.
Practice questions
- Apply the rule (x, y) -> (x - 5, y + 1) to the point (2, 3).
- The rule (x, y) -> (2x, 2y) doubles coordinates. Show it is NOT a rigid motion by comparing the distance from (0,0) to (1,0) before and after.
- Is a reflection a rigid motion? State what it preserves.
Watch the lesson
Every lesson comes with a video taught in English and Spanish — the same video the QR code in the printed workbook opens.
▶ Watch this lessonEn español
Transformaciones como funciones
Una transformación es una regla (una función) que asigna a cada punto del plano un punto imagen. Los movimientos rígidos (traslaciones, rotaciones, reflexiones) conservan la distancia y el ángulo, así que la imagen tiene el mismo tamaño y forma. Las transformaciones no rígidas, como una dilatación con factor de escala distinto de 1, cambian las distancias.
Ejemplo 1: La traslación (x, y) -> (x + 3, y - 2) es una función sobre puntos. Aplícala a A(1, 4): la imagen es (1 + 3, 4 - 2) = (4, 2). Aplícala a B(1, 1): la imagen es (4, -1). La distancia AB era 3; la distancia entre las imágenes también es 3, así que se conserva la distancia — es un movimiento rígido.
Ejemplo 2: La rotación de 90° en sentido antihorario alrededor del origen es la función (x, y) -> (-y, x). Aplícala a P(3, 1): la imagen es (-1, 3). Aplícala a Q(3, 4): la imagen es (-4, 3). La distancia PQ era 3, y la distancia entre las imágenes, de (-1,3) a (-4,3), también es 3. La distancia se conserva, así que esta también es una transformación rígida.
Ejemplo 3: Error común: llamar transformación rígida a cualquier transformación. La dilatación (x, y) -> (2x, 2y) es una función perfectamente válida sobre puntos, pero NO es rígida: A(1, 0) y B(3, 0) distan 2, mientras que sus imágenes (2, 0) y (6, 0) distan 4. Una transformación merece el nombre de rígida solo si conserva la distancia para TODO par de puntos — que un par se salve no es una demostración.
More Congruence lessons
Teach this lesson today
An AI tutor that guides with questions instead of just giving answers — all K–12 core subjects, every child in the family.
Start free — no card required