Symmetries of Figures
Aligned to G-CO.A.3 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
A symmetry is a rigid motion that carries a figure exactly onto itself. A regular polygon with n sides has n rotational symmetries (multiples of 360/n degrees) and n lines of reflection. Identifying these symmetries reveals the structure of a shape.
Worked examples
Example 1
Find the rotations that carry a square onto itself. A square has 4 sides, so rotate about its center by 360/4 = 90 degrees. The rotations that map it onto itself are 90°, 180°, 270°, and 360° (the identity). Each turn sends every corner to a corner position, so the square looks unchanged.
Example 2
Find the reflection symmetries of a regular pentagon. Each line of symmetry runs from one vertex through the midpoint of the opposite side. With 5 vertices there are 5 such lines, and folding along any one of them matches the figure onto itself. Together with the rotations by 72°, 144°, 216°, 288° and 360°, the pentagon has 10 symmetries in all.
Example 3
Common mistake: assuming a figure has a line of symmetry for every side. A rectangle has 4 sides but only 2 lines of symmetry — the two lines through opposite side midpoints. The diagonals are NOT lines of symmetry: folding a 6-by-2 rectangle along a diagonal does not match the corners. Test a candidate line by folding, not by counting, and only squares among rectangles have diagonal symmetry.
Practice questions
- Through what smallest angle can a regular hexagon be rotated to map onto itself?
- How many lines of reflection does an equilateral triangle have?
- A non-square rectangle is rotated about its center. List the rotation angles (0° to 360°) that carry it onto itself.
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Simetrías de figuras
Una simetría es un movimiento rígido que lleva una figura exactamente sobre sí misma. Un polígono regular de n lados tiene n simetrías de rotación (múltiplos de 360/n grados) y n ejes de reflexión. Identificar estas simetrías revela la estructura de una forma.
Ejemplo 1: Halla las rotaciones que llevan un cuadrado sobre sí mismo. Un cuadrado tiene 4 lados, así que rota sobre su centro 360/4 = 90 grados. Las rotaciones que lo mapean sobre sí mismo son 90°, 180°, 270° y 360° (la identidad). Cada giro envía cada esquina a una posición de esquina, así que el cuadrado se ve igual.
Ejemplo 2: Halla las simetrías de reflexión de un pentágono regular. Cada eje de simetría va de un vértice al punto medio del lado opuesto. Con 5 vértices hay 5 ejes, y doblar por cualquiera de ellos hace coincidir la figura consigo misma. Junto con las rotaciones de 72°, 144°, 216°, 288° y 360°, el pentágono tiene 10 simetrías en total.
Ejemplo 3: Error común: suponer que una figura tiene un eje de simetría por cada lado. Un rectángulo tiene 4 lados pero solo 2 ejes de simetría — las dos rectas que pasan por los puntos medios de lados opuestos. Las diagonales NO son ejes de simetría: doblar un rectángulo de 6 por 2 por una diagonal no hace coincidir las esquinas. Prueba cada recta candidata doblando, no contando; entre los rectángulos, solo el cuadrado tiene simetría diagonal.
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