Triangle Congruence and Corresponding Parts
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What this lesson teaches
Using rigid motions, two triangles are congruent if and only if all three pairs of corresponding sides and all three pairs of corresponding angles are congruent. One direction: a rigid motion preserves lengths and angles, so a mapping forces the parts to match. The other direction: matching parts let you build the mapping.
Worked examples
Example 1
Triangles ABC and DEF have AB = DE = 5, BC = EF = 7, CA = FD = 6, and angle A = angle D, angle B = angle E, angle C = angle F. All six corresponding parts match, so a sequence of rigid motions carries ABC onto DEF, making the triangles congruent (written ABC = DEF). The order of letters shows which parts correspond.
Example 2
Given triangle ABC = triangle XYZ, with AB = 9, angle B = 40° and YZ = 12, find XY and angle Y. The letter order pairs A with X, B with Y, C with Z. So XY corresponds to AB and equals 9, angle Y corresponds to angle B and equals 40°, and BC corresponds to YZ and equals 12. The statement itself does the matching.
Example 3
Common mistake: reading corresponding parts off the picture instead of off the congruence statement. If the problem says ABC = DFE (note the order: D, then F, then E), then AB corresponds to DF and BC corresponds to FE — even if the drawing makes AB look like it lines up with DE. The letters carry the correspondence; the drawing may be to scale, rotated, flipped, or simply wrong.
Practice questions
- Triangle ABC = triangle DEF. If AB = 8, name the side of DEF equal to it.
- In triangle ABC = triangle XYZ, angle B = 40°. What is angle Y?
- Explain why knowing all three angles are equal is NOT enough to conclude two triangles are congruent.
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Congruencia de triángulos y partes correspondientes
Usando movimientos rígidos, dos triángulos son congruentes si y solo si los tres pares de lados correspondientes y los tres pares de ángulos correspondientes son congruentes. Una dirección: un movimiento rígido conserva longitudes y ángulos, así que un mapeo obliga a que las partes coincidan. La otra dirección: las partes que coinciden permiten construir el mapeo.
Ejemplo 1: Los triángulos ABC y DEF tienen AB = DE = 5, BC = EF = 7, CA = FD = 6, y ángulo A = ángulo D, ángulo B = ángulo E, ángulo C = ángulo F. Las seis partes correspondientes coinciden, así que una secuencia de movimientos rígidos lleva ABC sobre DEF, haciéndolos congruentes (se escribe ABC = DEF). El orden de las letras muestra qué partes se corresponden.
Ejemplo 2: Dado que el triángulo ABC = el triángulo XYZ, con AB = 9, ángulo B = 40° y YZ = 12, halla XY y el ángulo Y. El orden de las letras empareja A con X, B con Y y C con Z. Entonces XY corresponde a AB y mide 9, el ángulo Y corresponde al ángulo B y mide 40°, y BC corresponde a YZ y mide 12. El propio enunciado hace el emparejamiento.
Ejemplo 3: Error común: leer las partes correspondientes en el dibujo en vez de en el enunciado de congruencia. Si el problema dice ABC = DFE (nota el orden: D, luego F, luego E), entonces AB corresponde a DF y BC corresponde a FE — aunque el dibujo haga parecer que AB se alinea con DE. Las letras llevan la correspondencia; el dibujo puede estar a escala, rotado, volteado o simplemente mal.
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