Defining Rigid Motions
Aligned to G-CO.A.4 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
Each rigid motion has a precise definition using basic objects. A rotation about center C by angle t sends each point P to the point P' with CP' = CP and angle PCP' = t. A reflection across line m sends each point to its mirror image, so m is the perpendicular bisector of the segment joining a point and its image. A translation slides every point the same distance in the same direction.
Worked examples
Example 1
Describe a reflection across line m precisely. For a point P not on m, its image P' satisfies two conditions: the segment PP' is perpendicular to m, and m cuts PP' exactly in half. So m is the perpendicular bisector of PP'. A point already on m maps to itself.
Example 2
Describe a rotation precisely. A rotation needs three things named: a center point O, a directed angle of t degrees, and a direction (counterclockwise is positive). The image P' of any point P satisfies two conditions: the distance OP' equals OP, and the angle POP' equals t. Because OP' = OP for every point, the center is the one point that does not move.
Example 3
Common mistake: describing a rigid motion without enough information to reproduce it. Saying rotate the triangle 90° is not a transformation — 90° about which point? Rotating triangle A(1,1), B(4,1), C(1,3) by 90° about the origin lands it in a different place than rotating it 90° about vertex A. A translation needs a full vector (not just slide it right), a reflection needs the line, and a rotation needs center, angle and direction.
Practice questions
- In a rotation of 60° about center C, what two things stay equal for a point P and its image P'?
- A translation moves A(0,0) to (4,3). Where does it move B(2,1), and how do you know the direction and distance match?
- Explain why, under a reflection, any point on the mirror line does not move.
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Definir los movimientos rígidos
Cada movimiento rígido tiene una definición precisa con objetos básicos. Una rotación sobre el centro C por un ángulo t envía cada punto P al punto P' con CP' = CP y ángulo PCP' = t. Una reflexión sobre la recta m envía cada punto a su imagen especular, así que m es la mediatriz del segmento que une un punto con su imagen. Una traslación desliza cada punto la misma distancia en la misma dirección.
Ejemplo 1: Describe con precisión una reflexión sobre la recta m. Para un punto P fuera de m, su imagen P' cumple dos condiciones: el segmento PP' es perpendicular a m, y m corta PP' exactamente por la mitad. Así, m es la mediatriz de PP'. Un punto que ya está en m se mapea a sí mismo.
Ejemplo 2: Describe una rotación con precisión. Una rotación exige nombrar tres cosas: un centro O, un ángulo dirigido de t grados y un sentido (antihorario es positivo). La imagen P' de cualquier punto P cumple dos condiciones: la distancia OP' es igual a OP, y el ángulo POP' mide t. Como OP' = OP para todo punto, el centro es el único punto que no se mueve.
Ejemplo 3: Error común: describir una transformación rígida sin datos suficientes para reproducirla. Decir rota el triángulo 90° no es una transformación — ¿90° alrededor de qué punto? Rotar el triángulo A(1,1), B(4,1), C(1,3) 90° alrededor del origen lo deja en un lugar distinto que rotarlo 90° alrededor del vértice A. Una traslación necesita un vector completo (no solo muévelo a la derecha), una reflexión necesita la recta, y una rotación necesita centro, ángulo y sentido.
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