Drawing and Sequencing Transformations
Aligned to G-CO.A.5 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
Given a figure and a transformation, you can draw the image point by point. Often two figures are related by a sequence of rigid motions rather than a single one. Finding that sequence proves the figures are congruent.
Worked examples
Example 1
Triangle with vertices A(1,1), B(4,1), C(1,3). Reflect it across the y-axis using (x, y) -> (-x, y). Image vertices: A'(-1,1), B'(-4,1), C'(-1,3). Plot the originals and images; the triangle flips to the left side, same size and shape. To then slide it up 2, follow with (x, y) -> (x, y + 2): A''(-1,3), B''(-4,3), C''(-1,5).
Example 2
Rectangle P(0,0), Q(4,0), R(4,2), S(0,2). Rotate it 90° counterclockwise about the origin with (x, y) -> (-y, x): P'(0,0), Q'(0,4), R'(-2,4), S'(-2,0). The 4-by-2 rectangle now stands 2 wide and 4 tall. Follow that with a translation right 5, (x, y) -> (x + 5, y): P''(5,0), Q''(5,4), R''(3,4), S''(3,0).
Example 3
Common mistake: doing the two transformations in the wrong order. Order matters. Take A(2, 0). Reflect across the y-axis then translate right 3: (-2, 0) then (1, 0). Translate right 3 then reflect: (5, 0) then (-5, 0). Same two moves, two different answers. Read the sequence left to right and apply each step to the OUTPUT of the one before it, never to the original.
Practice questions
- Rotate the point (3, 0) by 90° about the origin using (x, y) -> (-y, x). Give the image.
- Reflect A(2, 5) across the x-axis, then translate the image right 4. Give the final coordinates.
- Describe a sequence of two rigid motions that carries a triangle onto its copy located 6 units to the right and flipped upside down.
Watch the lesson
Every lesson comes with a video taught in English and Spanish — the same video the QR code in the printed workbook opens.
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Dibujar y encadenar transformaciones
Dada una figura y una transformación, puedes dibujar la imagen punto por punto. A menudo dos figuras se relacionan por una secuencia de movimientos rígidos en vez de uno solo. Encontrar esa secuencia demuestra que las figuras son congruentes.
Ejemplo 1: Triángulo con vértices A(1,1), B(4,1), C(1,3). Refléjalo sobre el eje y usando (x, y) -> (-x, y). Vértices imagen: A'(-1,1), B'(-4,1), C'(-1,3). Grafica los originales y las imágenes; el triángulo se voltea al lado izquierdo, del mismo tamaño y forma. Luego, para subirlo 2, aplica (x, y) -> (x, y + 2): A''(-1,3), B''(-4,3), C''(-1,5).
Ejemplo 2: Rectángulo P(0,0), Q(4,0), R(4,2), S(0,2). Rótalo 90° en sentido antihorario alrededor del origen con (x, y) -> (-y, x): P'(0,0), Q'(0,4), R'(-2,4), S'(-2,0). El rectángulo de 4 por 2 ahora mide 2 de ancho y 4 de alto. Sigue con una traslación de 5 a la derecha, (x, y) -> (x + 5, y): P''(5,0), Q''(5,4), R''(3,4), S''(3,0).
Ejemplo 3: Error común: hacer las dos transformaciones en el orden equivocado. El orden importa. Toma A(2, 0). Refleja en el eje y y luego traslada 3 a la derecha: (-2, 0) y luego (1, 0). Traslada 3 a la derecha y luego refleja: (5, 0) y luego (-5, 0). Los mismos dos movimientos, dos respuestas distintas. Lee la secuencia de izquierda a derecha y aplica cada paso al RESULTADO del anterior, nunca al original.
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