El criterio de semejanza AA
Alineada a G-SRT.A.3, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro, los triángulos son semejantes (AA). Como la suma de ángulos es 180°, los terceros ángulos también deben coincidir, así que los tres ángulos concuerdan. Una dilatación entonces escala un triángulo sobre el otro, forzando lados proporcionales.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
El triángulo ABC tiene ángulo A = 40°, ángulo B = 65°. El triángulo DEF tiene ángulo D = 40°, ángulo E = 65°. Dos ángulos coinciden, así que por AA los triángulos son semejantes. Verifica el tercer ángulo: cada uno mide 180 - 40 - 65 = 75°, confirmando la coincidencia. Por tanto los lados correspondientes son proporcionales.
Ejemplo 2
Usa AA en un problema de sombras. Un árbol y una vara de un metro están ambos verticales, así que cada uno forma un ángulo de 90° con el suelo. Los rayos del sol llegan a ambos con el mismo ángulo, lo que da un segundo par de ángulos iguales. Coinciden dos pares, así que por AA los triángulos son semejantes — y eso es justo lo que autoriza la proporción altura/sombra = altura/sombra usada para hallar la altura del árbol.
Ejemplo 3
Error común: intentar usar AA con un solo ángulo coincidente. Dos triángulos que contienen cada uno un ángulo de 90° no son automáticamente semejantes: un triángulo rectángulo 3-4-5 y uno 1-1-√2 comparten el ángulo recto y tienen formas completamente distintas. Hacen falta DOS pares. Observa además que AA basta solo para triángulos — dos cuadriláteros pueden tener los cuatro ángulos iguales (un cuadrado y un rectángulo de 2 por 5) y aun así no ser semejantes.
Preguntas de práctica
- El triángulo 1 tiene ángulos 50° y 60°. El triángulo 2 tiene ángulos 60° y 70°. ¿Son semejantes por AA? Explica.
- Dos triángulos rectángulos tienen cada uno un ángulo agudo de 35°. Explica por qué deben ser semejantes.
- En triángulo ABC ~ triángulo DEF por AA, si AB/DE = 3, ¿cuánto vale BC/EF?
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