Demostraciones del divisor de lados y Pitágoras
Alineada a G-SRT.B.4, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
La semejanza demuestra teoremas importantes. El teorema del divisor de lados: una línea paralela a un lado de un triángulo divide los otros dos lados proporcionalmente. El teorema de Pitágoras se demuestra trazando una altura a la hipotenusa, que crea dos triángulos menores semejantes al total.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Demuestra a^2 + b^2 = c^2 usando semejanza. En un triángulo rectángulo con catetos a, b e hipotenusa c, traza una altura desde el ángulo recto a la hipotenusa, partiéndola en segmentos p y q (p + q = c). Cada triángulo menor es semejante al original, dando a^2 = c*p y b^2 = c*q. Suma: a^2 + b^2 = c*p + c*q = c(p + q) = c*c = c^2.
Ejemplo 2
Aplica el teorema de la recta paralela (Tales). En el triángulo ABC, una recta paralela a BC corta a AB en D y a AC en E. Si AD = 4, DB = 6 y AE = 6, halla EC. La recta paralela crea un triángulo semejante, así que AD/DB = AE/EC. Sustituye: 4/6 = 6/EC. Multiplica en cruz: 4 × EC = 36, entonces EC = 9.
Ejemplo 3
Error común: dividir el par de longitudes equivocado. El teorema relaciona las dos PARTES de cada lado, o los dos lados COMPLETOS — pero hay que ser consistente. AD/DB = AE/EC es correcto (parte con parte) y AD/AB = AE/AC es correcto (parte con todo), pero AD/DB = AE/AC mezcla ambos y es falso. Aquí esa mezcla daría 4/6 = 6/AC, o sea AC = 9, cuando AC en realidad es 6 + 9 = 15.
Preguntas de práctica
- Una línea paralela a la base divide el lado izquierdo de un triángulo en 4 y 6. Si divide la parte superior del lado derecho como 6, halla la parte inferior.
- En un triángulo rectángulo la altura a la hipotenusa crea segmentos 4 y 9. Halla la longitud de la altura (media geométrica).
- Un triángulo rectángulo tiene catetos 9 y 12. Usa a^2 + b^2 = c^2 para hallar la hipotenusa.
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