Propiedades de las dilataciones
Alineada a G-SRT.A.1, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Una dilatación con centro O y factor de escala k mueve cada punto P a P' sobre el rayo OP de modo que OP' = k por OP. Una dilatación multiplica todas las distancias por k pero mantiene cada línea paralela a su imagen, y deja fijo el centro. Por eso las figuras dilatadas son semejantes, no congruentes (a menos que k = 1).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Dilata el punto A(2, 4) desde el origen con factor de escala 3. Multiplica cada coordenada por 3: A' = (3*2, 3*4) = (6, 12). La imagen está sobre el rayo del origen que pasa por A, tres veces más lejos. Un segmento del origen a A se triplica, coincidiendo con el factor de escala.
Ejemplo 2
Dilata el segmento PQ con P(1, 2) y Q(4, 2) desde el centro C(0, 0) con factor de escala 1/2. Multiplica cada coordenada por 1/2: P'(0.5, 1) y Q'(2, 1). El segmento original medía 3; la imagen mide 2 - 0.5 = 1.5, exactamente la mitad. Tanto el original como la imagen son horizontales, así que el segmento quedó paralelo a sí mismo.
Ejemplo 3
Error común: creer que una dilatación de factor 1/2 encoge hacia el origen sin importar cuál sea el centro. El centro es el único punto fijo, y no siempre es el origen. Dilatar A(6, 0) desde el centro C(4, 0) con factor 1/2 mueve A hasta la mitad del camino hacia C: A' = (5, 0), no (3, 0). La regla es A' = C + k(A - C). Solo cuando C es el origen eso se reduce a multiplicar las coordenadas por k.
Preguntas de práctica
- Dilata B(1, -2) desde el origen con factor de escala 4. Da B'.
- Una dilatación con centro O y factor de escala 1/2 se aplica a un segmento de longitud 10. Halla la longitud de la imagen.
- Una línea no pasa por el centro de una dilatación. ¿Qué es cierto acerca de la línea y su imagen?
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