Transformaciones de semejanza
Alineada a G-SRT.A.2, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Dos figuras son semejantes cuando una secuencia de movimientos rígidos y una dilatación mapea una sobre la otra. Para triángulos esto significa que los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes son proporcionales. La razón común de los lados es el factor de escala.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
El triángulo ABC tiene lados 3, 4, 5. El triángulo DEF tiene lados 6, 8, 10 con ángulos correspondientes iguales. Verifica la proporcionalidad: 6/3 = 2, 8/4 = 2, 10/5 = 2. Todas las razones son 2, así que una dilatación de factor 2 (con movimientos rígidos) mapea ABC sobre DEF. Los triángulos son semejantes con factor de escala 2.
Ejemplo 2
Una foto mide 4 pulgadas por 6 pulgadas y se amplía a 10 pulgadas de ancho. ¿Es la ampliación semejante a la original? Comprueba el factor de escala en el lado conocido: 10/4 = 2.5. Para que haya semejanza, el otro lado debe medir 6 × 2.5 = 15 pulgadas. Si el marco es de 10 por 14, las razones son 2.5 y 14/6 = 2.33 — distintas, así que la imagen NO es semejante a la original y quedará deformada.
Ejemplo 3
Error común: sumar la misma cantidad a cada lado en vez de multiplicar. Agrandar un triángulo 3-4-5 sumando 2 a cada lado da 5-6-7. Las razones son 5/3 = 1.67, 6/4 = 1.5 y 7/5 = 1.4 — todas distintas, así que no es semejante, y el ángulo recto desapareció. La semejanza viene de una dilatación, y una dilatación MULTIPLICA. Las diferencias iguales no conservan nada; las razones iguales conservan la forma.
Preguntas de práctica
- El triángulo 1 tiene lados 5, 7, 9. El triángulo 2 es semejante con factor de escala 3. Enumera sus lados.
- Dos triángulos semejantes tienen lados correspondientes 12 y 4. ¿Cuál es el factor de escala del pequeño al grande?
- Si dos triángulos son semejantes, ¿qué debe ser cierto sobre cada par de ángulos correspondientes?
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