The AA Similarity Criterion
Aligned to G-SRT.A.3 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
If two angles of one triangle equal two angles of another, the triangles are similar (AA). Because the angle sum is 180°, the third angles must also match, so all three angles agree. A dilation then scales one triangle onto the other, forcing proportional sides.
Worked examples
Example 1
Triangle ABC has angle A = 40°, angle B = 65°. Triangle DEF has angle D = 40°, angle E = 65°. Two angles match, so by AA the triangles are similar. Check the third angles: each equals 180 - 40 - 65 = 75°, confirming the match. Corresponding sides are therefore proportional.
Example 2
Use AA on a shadow problem. A tree and a meter stick both stand vertical, so each makes a 90° angle with the ground. The sun's rays hit both at the same angle, giving a second pair of equal angles. Two pairs match, so by AA the two triangles are similar — which is exactly what licenses the proportion height/shadow = height/shadow used to find the tree's height.
Example 3
Common mistake: trying to use AA with only one matching angle. Two triangles each containing a 90° angle are not automatically similar: a 3-4-5 right triangle and a 1-1-√2 right triangle share the right angle but have completely different shapes. You need TWO pairs. Note also that AA is enough only for triangles — two quadrilaterals can have all four angles equal (a square and a 2-by-5 rectangle) and still not be similar.
Practice questions
- Triangle 1 has angles 50° and 60°. Triangle 2 has angles 60° and 70°. Are they similar by AA? Explain.
- Two right triangles each have an acute angle of 35°. Explain why they must be similar.
- In triangle ABC ~ triangle DEF by AA, if AB/DE = 3, what is BC/EF?
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El criterio de semejanza AA
Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro, los triángulos son semejantes (AA). Como la suma de ángulos es 180°, los terceros ángulos también deben coincidir, así que los tres ángulos concuerdan. Una dilatación entonces escala un triángulo sobre el otro, forzando lados proporcionales.
Ejemplo 1: El triángulo ABC tiene ángulo A = 40°, ángulo B = 65°. El triángulo DEF tiene ángulo D = 40°, ángulo E = 65°. Dos ángulos coinciden, así que por AA los triángulos son semejantes. Verifica el tercer ángulo: cada uno mide 180 - 40 - 65 = 75°, confirmando la coincidencia. Por tanto los lados correspondientes son proporcionales.
Ejemplo 2: Usa AA en un problema de sombras. Un árbol y una vara de un metro están ambos verticales, así que cada uno forma un ángulo de 90° con el suelo. Los rayos del sol llegan a ambos con el mismo ángulo, lo que da un segundo par de ángulos iguales. Coinciden dos pares, así que por AA los triángulos son semejantes — y eso es justo lo que autoriza la proporción altura/sombra = altura/sombra usada para hallar la altura del árbol.
Ejemplo 3: Error común: intentar usar AA con un solo ángulo coincidente. Dos triángulos que contienen cada uno un ángulo de 90° no son automáticamente semejantes: un triángulo rectángulo 3-4-5 y uno 1-1-√2 comparten el ángulo recto y tienen formas completamente distintas. Hacen falta DOS pares. Observa además que AA basta solo para triángulos — dos cuadriláteros pueden tener los cuatro ángulos iguales (un cuadrado y un rectángulo de 2 por 5) y aun así no ser semejantes.
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