Trigonometric Ratios
Aligned to G-SRT.C.6 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
In a right triangle, the ratio of two side lengths depends only on the acute angle, not the triangle's size, because all right triangles with that angle are similar. This gives the definitions: sine = opposite/hypotenuse, cosine = adjacent/hypotenuse, tangent = opposite/adjacent.
Worked examples
Example 1
A right triangle has an acute angle t with the opposite leg 3, the adjacent leg 4, and hypotenuse 5. Compute the three ratios: sin t = opposite/hypotenuse = 3/5 = 0.6; cos t = adjacent/hypotenuse = 4/5 = 0.8; tan t = opposite/adjacent = 3/4 = 0.75. Any larger 3-4-5 triangle gives the same ratios for angle t.
Example 2
A ladder leans against a wall making a 70° angle with the ground, and its foot is 3 feet from the wall. The 3 feet is adjacent to the 70° angle and the ladder is the hypotenuse, so cos 70° = 3/L. Since cos 70° is about 0.342, L = 3/0.342 which is about 8.8 feet.
Example 3
Common mistake: labelling opposite and adjacent from the triangle instead of from the ANGLE you are using. In a 3-4-5 triangle the leg of length 3 is opposite one acute angle and adjacent to the other. So sin of the first angle is 3/5, but sin of the second is 4/5. Before writing any ratio, mark the angle, then trace across the triangle to find the side facing it — that side, and only that side, is the opposite.
Practice questions
- A right triangle has opposite 5, adjacent 12, hypotenuse 13 for angle t. Find sin t, cos t, tan t.
- Explain why two different-sized right triangles with the same acute angle give the same sine value.
- For angle t, tan t = 8/15. Draw the legs and find the hypotenuse, then give sin t.
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Razones trigonométricas
En un triángulo rectángulo, la razón de dos longitudes depende solo del ángulo agudo, no del tamaño del triángulo, porque todos los triángulos rectángulos con ese ángulo son semejantes. Esto da las definiciones: seno = opuesto/hipotenusa, coseno = adyacente/hipotenusa, tangente = opuesto/adyacente.
Ejemplo 1: Un triángulo rectángulo tiene un ángulo agudo t con el cateto opuesto 3, el adyacente 4 e hipotenusa 5. Calcula las tres razones: sen t = opuesto/hipotenusa = 3/5 = 0.6; cos t = adyacente/hipotenusa = 4/5 = 0.8; tan t = opuesto/adyacente = 3/4 = 0.75. Cualquier triángulo 3-4-5 más grande da las mismas razones para el ángulo t.
Ejemplo 2: Una escalera se apoya en una pared formando un ángulo de 70° con el suelo, y su base está a 3 pies de la pared. Los 3 pies son el cateto adyacente al ángulo de 70° y la escalera es la hipotenusa, así que cos 70° = 3/L. Como cos 70° es aproximadamente 0.342, L = 3/0.342, unos 8.8 pies.
Ejemplo 3: Error común: etiquetar opuesto y adyacente según el triángulo y no según el ÁNGULO que estás usando. En un triángulo 3-4-5, el cateto de 3 es opuesto a un ángulo agudo y adyacente al otro. Así que el seno del primer ángulo es 3/5, pero el del segundo es 4/5. Antes de escribir cualquier razón, marca el ángulo y luego cruza el triángulo para hallar el lado que lo enfrenta — ese lado, y solo ese, es el opuesto.
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