Sine and Cosine of Complementary Angles
Aligned to G-SRT.C.7 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
In a right triangle, the two acute angles are complementary (they add to 90°). The side opposite one acute angle is adjacent to the other, so the sine of one angle equals the cosine of its complement: sin t = cos(90 - t).
Worked examples
Example 1
Show sin 30° = cos 60°. In a right triangle, if one acute angle is 30°, the other is 90 - 30 = 60°. The leg opposite the 30° angle is the leg adjacent to the 60° angle. So sin 30° (opposite/hyp for 30°) equals cos 60° (adjacent/hyp for 60°). Both equal 0.5.
Example 2
Use the complement relationship to fill a gap. A right triangle has an acute angle of 25° and you know cos 65° = 0.423. Since 25 and 65 are complementary, sin 25° = cos 65° = 0.423. So if the hypotenuse is 20, the side opposite the 25° angle is 20 × 0.423 which is about 8.5.
Example 3
Common mistake: extending the rule to supplementary angles or to tangent. The identity is sin t = cos(90 - t) — it pairs angles that add to 90, not to 180. So sin 30° = cos 60°, but sin 30° does NOT equal cos 150°. And tangent has its own pairing: tan t = 1/tan(90 - t), so tan 30° is the RECIPROCAL of tan 60°, not equal to it. Check the pairing sums to 90 before you swap.
Practice questions
- Rewrite sin 25° as a cosine of a complementary angle.
- If cos 40° = 0.766, what is sin 50°?
- Explain why sin t always equals cos(90 - t) in a right triangle, using the words opposite and adjacent.
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Seno y coseno de ángulos complementarios
En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos son complementarios (suman 90°). El lado opuesto a un ángulo agudo es adyacente al otro, así que el seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento: sen t = cos(90 - t).
Ejemplo 1: Muestra que sen 30° = cos 60°. En un triángulo rectángulo, si un ángulo agudo es 30°, el otro es 90 - 30 = 60°. El cateto opuesto al ángulo de 30° es el cateto adyacente al ángulo de 60°. Así, sen 30° (opuesto/hip para 30°) es igual a cos 60° (adyacente/hip para 60°). Ambos valen 0.5.
Ejemplo 2: Usa la relación de complementarios para llenar un hueco. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo agudo de 25° y sabes que cos 65° = 0.423. Como 25 y 65 son complementarios, sen 25° = cos 65° = 0.423. Así que si la hipotenusa es 20, el lado opuesto al ángulo de 25° mide 20 × 0.423, unos 8.5.
Ejemplo 3: Error común: extender la regla a ángulos suplementarios o a la tangente. La identidad es sen t = cos(90 - t) — empareja ángulos que suman 90, no 180. Así sen 30° = cos 60°, pero sen 30° NO es igual a cos 150°. Y la tangente tiene su propio emparejamiento: tan t = 1/tan(90 - t), así que tan 30° es el RECÍPROCO de tan 60°, no su igual. Verifica que el par sume 90 antes de intercambiar.
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