Demostrar teoremas de paralelogramos

Ejemplo 1

Demuestra que las diagonales de un paralelogramo se bisecan. En el paralelogramo ABCD, traza las diagonales AC y BD que se cortan en P. Como AB es paralelo a DC, los ángulos alternos internos dan ángulo BAP = ángulo DCP y ángulo ABP = ángulo CDP. Además AB = DC (lados opuestos). Por ALA, triángulo ABP = triángulo CDP, así que AP = CP y BP = DP. Por tanto cada diagonal queda dividida a la mitad en P.

Ejemplo 2

Demuestra que si los dos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son iguales, es un paralelogramo. En el cuadrilátero ABCD con AB = CD y BC = DA, traza la diagonal AC. Entonces AB = CD, BC = DA y AC = AC, así que por LLL el triángulo ABC = el triángulo CDA. Los ángulos correspondientes dan ángulo BAC = ángulo DCA, que son alternos internos para AB y DC cortadas por AC — así que AB es paralela a DC. El mismo argumento con el otro par lo termina.

Ejemplo 3

Error común: suponer que un cuadrilátero es paralelogramo porque dos lados parecen paralelos y dos lados son iguales. Un par paralelo más un par igual NO basta — un trapecio isósceles cumple exactamente eso y no es paralelogramo. Lo que sí funciona es: los dos pares de lados opuestos paralelos, O los dos pares iguales, O un par a la vez paralelo E igual, O las diagonales cortándose por la mitad.