Proving Parallelogram Theorems
Aligned to G-CO.C.11 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
A parallelogram has both pairs of opposite sides parallel. From this, opposite sides are congruent, opposite angles are congruent, and the diagonals bisect each other. A rectangle is a parallelogram with a right angle, and its diagonals are congruent.
Worked examples
Example 1
Prove the diagonals of a parallelogram bisect each other. In parallelogram ABCD, draw diagonals AC and BD meeting at P. Because AB is parallel to DC, alternate interior angles give angle BAP = angle DCP and angle ABP = angle CDP. Also AB = DC (opposite sides). By ASA, triangle ABP = triangle CDP, so AP = CP and BP = DP. Thus each diagonal is cut in half at P.
Example 2
Prove that if both pairs of opposite sides of a quadrilateral are equal, it is a parallelogram. In quadrilateral ABCD with AB = CD and BC = DA, draw diagonal AC. Then AB = CD, BC = DA and AC = AC, so by SSS triangle ABC = triangle CDA. Corresponding angles give angle BAC = angle DCA, and those are alternate interior angles for AB and DC cut by AC — so AB is parallel to DC. The same argument on the other pair finishes it.
Example 3
Common mistake: assuming a quadrilateral is a parallelogram because two sides look parallel and two sides are equal. One pair parallel plus one pair equal is NOT enough — an isosceles trapezoid has exactly that and is not a parallelogram. What works is: both pairs of opposite sides parallel, OR both pairs equal, OR one pair both parallel AND equal, OR diagonals bisecting each other.
Practice questions
- In parallelogram ABCD, angle A = 65°. Find angle C and angle B.
- A parallelogram has one side 9 cm. What is the length of the opposite side?
- Explain why the diagonals of a rectangle must be congruent, using the fact that a rectangle is a parallelogram with right angles.
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Demostrar teoremas de paralelogramos
Un paralelogramo tiene los dos pares de lados opuestos paralelos. De esto, los lados opuestos son congruentes, los ángulos opuestos son congruentes y las diagonales se bisecan mutuamente. Un rectángulo es un paralelogramo con un ángulo recto, y sus diagonales son congruentes.
Ejemplo 1: Demuestra que las diagonales de un paralelogramo se bisecan. En el paralelogramo ABCD, traza las diagonales AC y BD que se cortan en P. Como AB es paralelo a DC, los ángulos alternos internos dan ángulo BAP = ángulo DCP y ángulo ABP = ángulo CDP. Además AB = DC (lados opuestos). Por ALA, triángulo ABP = triángulo CDP, así que AP = CP y BP = DP. Por tanto cada diagonal queda dividida a la mitad en P.
Ejemplo 2: Demuestra que si los dos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son iguales, es un paralelogramo. En el cuadrilátero ABCD con AB = CD y BC = DA, traza la diagonal AC. Entonces AB = CD, BC = DA y AC = AC, así que por LLL el triángulo ABC = el triángulo CDA. Los ángulos correspondientes dan ángulo BAC = ángulo DCA, que son alternos internos para AB y DC cortadas por AC — así que AB es paralela a DC. El mismo argumento con el otro par lo termina.
Ejemplo 3: Error común: suponer que un cuadrilátero es paralelogramo porque dos lados parecen paralelos y dos lados son iguales. Un par paralelo más un par igual NO basta — un trapecio isósceles cumple exactamente eso y no es paralelogramo. Lo que sí funciona es: los dos pares de lados opuestos paralelos, O los dos pares iguales, O un par a la vez paralelo E igual, O las diagonales cortándose por la mitad.
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