Construcciones formales con compás
Alineada a G-CO.D.12, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Las construcciones con compás y regla producen figuras exactas usando solo arcos de igual radio y líneas rectas. La mediatriz de un segmento se halla con dos arcos de igual radio desde cada extremo. Las construcciones justifican por qué una figura tiene una propiedad afirmada.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Construye la mediatriz del segmento AB. Abre el compás a más de la mitad de AB. Desde A, traza un arco arriba y abajo del segmento; con la misma abertura, desde B traza dos arcos más que los crucen en los puntos P y Q. Traza la recta PQ. Cada punto de PQ equidista de A y B, así que PQ es perpendicular a AB y pasa por su punto medio.
Ejemplo 2
Copia un ángulo con compás y regla sin marcas. Dado el ángulo A y un rayo con extremo A', traza un arco con centro en A que corte ambos lados en B y C. Con la misma abertura, traza un arco con centro en A' que corte el rayo en B'. Ahora abre el compás a la distancia BC y, desde B', marca esa distancia sobre el nuevo arco para hallar C'. Traza el rayo A'C'. Los triángulos ABC y A'B'C' coinciden por LLL, así que el ángulo copiado es congruente.
Ejemplo 3
Error común: medir con las marcas de la regla en lugar de construir. Una construcción formal usa solo dos herramientas — una regla sin marcas para trazar rectas y un compás para transferir distancias y trazar arcos. Alinear un transportador a un ángulo de 47° produce un dibujo, no una construcción, y arrastra el error del transportador. Los arcos se usan porque garantizan distancias EXACTAMENTE iguales, que es justo de lo que depende la justificación por LLL.
Preguntas de práctica
- Describe los arcos necesarios para bisecar un ángulo dado con compás y regla.
- ¿Por qué debe el compás mantener el mismo radio al trazar los dos conjuntos de arcos para una mediatriz?
- Para copiar un segmento de longitud AB sobre un rayo, ¿qué ajuste del compás garantiza que la copia tenga exactamente la misma longitud?
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