Formal Compass Constructions
Aligned to G-CO.D.12 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
Compass-and-straightedge constructions produce exact figures using only equal-radius arcs and straight edges. The perpendicular bisector of a segment is found with two arcs of equal radius from each endpoint. Constructions justify why a figure has a claimed property.
Worked examples
Example 1
Construct the perpendicular bisector of segment AB. Open the compass wider than half of AB. From A, draw an arc above and below the segment; keeping the same opening, from B draw two more arcs crossing them at points P and Q. Draw line PQ. Every point on PQ is equidistant from A and B, so PQ is perpendicular to AB and passes through its midpoint.
Example 2
Copy an angle with compass and straightedge. Given angle A and a ray with endpoint A', draw an arc centered at A cutting both sides at B and C. With the same opening, draw an arc centered at A' cutting the ray at B'. Now set the compass to the distance BC and, from B', mark that distance on the new arc to find C'. Draw ray A'C'. Triangles ABC and A'B'C' match by SSS, so the copied angle is congruent.
Example 3
Common mistake: measuring with the ruler's markings instead of constructing. A formal construction uses only two tools — an unmarked straightedge for drawing lines and a compass for transferring distances and drawing arcs. Lining a protractor up to a 47° angle produces a picture, not a construction, and it carries the protractor's error. The reason arcs are used is that they guarantee EXACTLY equal distances, which is what the SSS justification depends on.
Practice questions
- Describe the arcs needed to bisect a given angle with compass and straightedge.
- Why must the compass keep the same radius when drawing the two sets of arcs for a perpendicular bisector?
- To copy a segment of length AB onto a ray, what tool setting guarantees the copy is exactly the same length?
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Construcciones formales con compás
Las construcciones con compás y regla producen figuras exactas usando solo arcos de igual radio y líneas rectas. La mediatriz de un segmento se halla con dos arcos de igual radio desde cada extremo. Las construcciones justifican por qué una figura tiene una propiedad afirmada.
Ejemplo 1: Construye la mediatriz del segmento AB. Abre el compás a más de la mitad de AB. Desde A, traza un arco arriba y abajo del segmento; con la misma abertura, desde B traza dos arcos más que los crucen en los puntos P y Q. Traza la recta PQ. Cada punto de PQ equidista de A y B, así que PQ es perpendicular a AB y pasa por su punto medio.
Ejemplo 2: Copia un ángulo con compás y regla sin marcas. Dado el ángulo A y un rayo con extremo A', traza un arco con centro en A que corte ambos lados en B y C. Con la misma abertura, traza un arco con centro en A' que corte el rayo en B'. Ahora abre el compás a la distancia BC y, desde B', marca esa distancia sobre el nuevo arco para hallar C'. Traza el rayo A'C'. Los triángulos ABC y A'B'C' coinciden por LLL, así que el ángulo copiado es congruente.
Ejemplo 3: Error común: medir con las marcas de la regla en lugar de construir. Una construcción formal usa solo dos herramientas — una regla sin marcas para trazar rectas y un compás para transferir distancias y trazar arcos. Alinear un transportador a un ángulo de 47° produce un dibujo, no una construcción, y arrastra el error del transportador. Los arcos se usan porque garantizan distancias EXACTAMENTE iguales, que es justo de lo que depende la justificación por LLL.
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