Valores trigonométricos con triángulos especiales
Alineada a F-TF.A.3, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Este es un estándar avanzado (+). Los triángulos 45-45-90 y 30-60-90 dan valores trigonométricos exactos: sus razones de lados fijas permiten leer el seno, el coseno y la tangente de pi/6, pi/4 y pi/3 sin calculadora.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
En un triángulo 45-45-90 los dos catetos son iguales y la hipotenusa mide √2 veces un cateto. Entonces sin(pi/4) = cos(pi/4) = 1/√2 = √2/2, y tan(pi/4) = 1.
Ejemplo 2
En un triángulo 30-60-90 los lados están en razón 1 : √3 : 2, con el lado más corto opuesto al ángulo de 30°. Así que sen(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2 y tan(π/6) = 1/√3 = √3/3. Para el ángulo de 60° los papeles de los catetos se intercambian: sen(π/3) = √3/2 y cos(π/3) = 1/2.
Ejemplo 3
Error común: emparejar el cateto equivocado con el ángulo equivocado. En un triángulo 30-60-90 el lado de longitud 1 está opuesto al ángulo de 30°, no al de 60° — el lado más pequeño siempre enfrenta al ángulo más pequeño. Invertirlo da sen(30°) = √3/2, que es mayor que 0.85 y claramente erróneo para un ángulo tan pequeño. Comprueba todo valor: el seno crece de 0 a 1 mientras el ángulo va de 0° a 90°.
Preguntas de práctica
- Usa el triángulo 30-60-90 para hallar cos(pi/3).
- Halla sin(pi/6) y tan(pi/6).
- Explica por qué tan(pi/4) = 1.
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