Funciones inversas
Alineada a F-BF.B.4, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Una función inversa deshace a otra: intercambia x y y, luego despeja y. Dos funciones f y g son inversas exactamente cuando f(g(x)) = x y g(f(x)) = x.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Sea f(x) = 2x + 6. Intercambia para obtener x = 2y + 6, así que y = (x − 6)/2. Comprueba: f((x − 6)/2) = 2 × (x − 6)/2 + 6 = (x − 6) + 6 = x, entonces queda verificado.
Ejemplo 2
De Celsius a Fahrenheit la fórmula es F(c) = (9/5)c + 32. Halla la inversa. Intercambia: c = (9/5)f + 32, así que c − 32 = (9/5)f y f = (5/9)(c − 32). Esa es la conocida fórmula de Fahrenheit a Celsius — las dos conversiones son funciones inversas entre sí, y por eso aplicar ambas devuelve la temperatura original.
Ejemplo 3
Error común: suponer que toda función tiene función inversa. f(x) = x² falla la prueba de la recta horizontal: la recta y = 4 la corta en x = 2 y en x = −2, así que una inversa tendría que mandar el 4 a dos lugares. Primero hay que restringir el dominio — en x ≥ 0 la inversa es √x. Toda función que repite una salida necesita una restricción antes de poder invertirse.
Preguntas de práctica
- Halla la inversa de f(x) = x − 7.
- Halla la inversa de f(x) = 3x.
- Verifica que f(x) = x^3 y g(x) = √[3]{x} son inversas mediante composición.
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