Formas equivalentes de una función
Alineada a F-IF.C.8, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Reescribir una función factorizando o completando el cuadrado revela distintas características clave. La forma factorizada muestra los ceros, mientras que la forma de vértice muestra el extremo (máximo o mínimo) y el eje de simetría.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Toma f(x) = x^2 − 6x + 5. Al factorizar se obtiene (x − 1)(x − 5), así que los ceros son x = 1 y x = 5. Al completar el cuadrado se obtiene (x − 3)^2 − 4, entonces el vértice es (3, −4) y el eje de simetría es x = 3.
Ejemplo 2
Toma f(x) = 2x² + 8x + 6. Factorizada: 2(x + 1)(x + 3), que muestra ceros en x = −1 y x = −3. Forma de vértice: 2(x + 2)² − 2, que muestra el mínimo en (−2, −2). La forma estándar muestra de un vistazo la intersección con el eje y en 6. Tres formas, tres preguntas distintas respondidas al instante.
Ejemplo 3
Error común: suponer que toda cuadrática se factoriza con enteros. f(x) = x² − 2x − 4 tiene ceros reales, pero ningún par de enteros multiplica −4 y suma −2. Completar el cuadrado da (x − 1)² − 5, así que los ceros son 1 ± √5. No poder factorizar NO significa que no haya ceros — cambia de método en vez de concluir que el problema no tiene respuesta.
Preguntas de práctica
- Factoriza f(x) = x^2 − 9 para hallar sus ceros.
- Completa el cuadrado en g(x) = x^2 + 4x + 1 para hallar su vértice.
- Reescribe h(x) = 2x^2 − 8x + 6 en forma de vértice y da su valor mínimo.
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