Trig Values from Special Triangles
Aligned to F-TF.A.3 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
This is a (+) advanced standard. The 45-45-90 and 30-60-90 triangles give exact trig values: their fixed side ratios let you read sine, cosine, and tangent for pi/6, pi/4, and pi/3 without a calculator.
Worked examples
Example 1
In a 45-45-90 triangle the two legs are equal and the hypotenuse is √2 times a leg. So sin(pi/4) = cos(pi/4) = 1/√2 = √2/2, and tan(pi/4) = 1.
Example 2
In a 30-60-90 triangle the sides are in the ratio 1 : √3 : 2, with the shortest side opposite the 30° angle. So sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2, and tan(π/6) = 1/√3 = √3/3. For the 60° angle the roles of the legs swap: sin(π/3) = √3/2 and cos(π/3) = 1/2.
Example 3
Common mistake: pairing the wrong leg with the wrong angle. In a 30-60-90 triangle the side of length 1 sits opposite 30°, not opposite 60° — the smallest side always faces the smallest angle. Getting this backwards gives sin(30°) = √3/2, which is greater than 0.85 and clearly wrong for such a small angle. Sanity-check every value: sine grows from 0 to 1 as the angle goes from 0° to 90°.
Practice questions
- Use the 30-60-90 triangle to find cos(pi/3).
- Find sin(pi/6) and tan(pi/6).
- Explain why tan(pi/4) = 1.
Watch the lesson
Every lesson comes with a video taught in English and Spanish — the same video the QR code in the printed workbook opens.
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Valores trigonométricos con triángulos especiales
Este es un estándar avanzado (+). Los triángulos 45-45-90 y 30-60-90 dan valores trigonométricos exactos: sus razones de lados fijas permiten leer el seno, el coseno y la tangente de pi/6, pi/4 y pi/3 sin calculadora.
Ejemplo 1: En un triángulo 45-45-90 los dos catetos son iguales y la hipotenusa mide √2 veces un cateto. Entonces sin(pi/4) = cos(pi/4) = 1/√2 = √2/2, y tan(pi/4) = 1.
Ejemplo 2: En un triángulo 30-60-90 los lados están en razón 1 : √3 : 2, con el lado más corto opuesto al ángulo de 30°. Así que sen(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2 y tan(π/6) = 1/√3 = √3/3. Para el ángulo de 60° los papeles de los catetos se intercambian: sen(π/3) = √3/2 y cos(π/3) = 1/2.
Ejemplo 3: Error común: emparejar el cateto equivocado con el ángulo equivocado. En un triángulo 30-60-90 el lado de longitud 1 está opuesto al ángulo de 30°, no al de 60° — el lado más pequeño siempre enfrenta al ángulo más pequeño. Invertirlo da sen(30°) = √3/2, que es mayor que 0.85 y claramente erróneo para un ángulo tan pequeño. Comprueba todo valor: el seno crece de 0 a 1 mientras el ángulo va de 0° a 90°.
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