Transformations of Function Graphs
Aligned to F-BF.B.3 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
Compared with f(x): f(x) + k shifts the graph up by k, f(x + k) shifts it left by k, k × f(x) stretches it vertically by a factor of k, and f(kx) compresses it horizontally. A negative k also reflects the graph.
Worked examples
Example 1
Start with f(x) = x^2. Then f(x) + 3 = x^2 + 3 shifts the parabola up 3 units, and f(x − 2) = (x − 2)^2 shifts it right 2 units.
Example 2
Start with f(x) = √x. Then g(x) = −√(x) + 4 flips the curve across the x-axis and lifts it 4 units, so it starts at (0, 4) and falls. And h(x) = √(x − 1) shifts the starting point right to (1, 0), because the domain now requires x ≥ 1.
Example 3
Common mistake: ignoring what a transformation does to the domain. The parent √x is defined for x ≥ 0, so √(x + 5) is defined for x ≥ −5 and √(x − 5) for x ≥ 5. Shifting a graph moves its domain and range with it. A transformed function is not just a redrawn picture — the set of legal inputs moves too, and that is what the graph's starting point shows.
Practice questions
- How does the graph of f(x) − 4 differ from the graph of f(x)?
- Describe the shift from f(x) to f(x + 5).
- Compare the graphs of f(x) = x^2 and 3 × f(x) = 3x^2.
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Transformaciones de gráficas de funciones
Comparado con f(x): f(x) + k desplaza la gráfica k unidades hacia arriba, f(x + k) la desplaza k unidades a la izquierda, k × f(x) la estira verticalmente por un factor de k, y f(kx) la comprime horizontalmente. Un valor negativo de k también refleja la gráfica.
Ejemplo 1: Parte de f(x) = x^2. Entonces f(x) + 3 = x^2 + 3 desplaza la parábola 3 unidades hacia arriba, y f(x − 2) = (x − 2)^2 la desplaza 2 unidades a la derecha.
Ejemplo 2: Empieza con f(x) = √x. Entonces g(x) = −√x + 4 voltea la curva sobre el eje x y la sube 4 unidades, así que arranca en (0, 4) y baja. Y h(x) = √(x − 1) desplaza el punto inicial a la derecha, a (1, 0), porque ahora el dominio exige x ≥ 1.
Ejemplo 3: Error común: ignorar lo que una transformación le hace al dominio. La función madre √x está definida para x ≥ 0, así que √(x + 5) lo está para x ≥ −5 y √(x − 5) para x ≥ 5. Desplazar una gráfica mueve con ella su dominio y su rango. Una función transformada no es solo un dibujo redibujado — el conjunto de entradas válidas también se mueve, y eso es lo que muestra el punto inicial de la gráfica.
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