Comparing Functions in Different Forms
Aligned to F-IF.C.9 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
To compare two functions given in different ways — equation, table, graph, or words — pick a shared feature such as rate of change, intercept, or maximum, and read that feature from each representation.
Worked examples
Example 1
Function A is f(x) = 3x + 2 (an equation, slope 3). Function B is a table passing through (0, 1) and (1, 5), so its slope is (5 − 1)/(1 − 0) = 4. Since 4 > 3, Function B grows faster.
Example 2
Function A is described in words: starts at 100 and grows 20% each year. Function B is the table (0, 100), (1, 130), (2, 160). A is exponential — after 3 years it reaches 100(1.2)³ = 172.8. B is linear, adding 30 a year, reaching 190 at year 3. B leads early, but A's 1.2 factor eventually overtakes any straight line.
Example 3
Common mistake: comparing only the starting values or only one point. At year 0 both functions above equal 100; at year 1 the linear one is ahead. Neither fact answers which grows faster. Compare the RATE — slope for a linear function, growth factor for an exponential — and remember that an exponential with any factor above 1 eventually passes every linear function, however steep.
Practice questions
- Function A has slope 2; a table for B rises 5 units per step. Which grows faster?
- Compare the y-intercepts of f(x) = 2x − 3 and a line through (0, 4).
- A parabola f(x) = x^2 − 4 has minimum −4; a graphed parabola has minimum −1. Which minimum is greater?
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Comparar funciones en distintas formas
Para comparar dos funciones dadas de distinta manera — ecuación, tabla, gráfica o en palabras — elige una característica común como la tasa de cambio, la intersección o el máximo, y léela en cada representación.
Ejemplo 1: La función A es f(x) = 3x + 2 (una ecuación, pendiente 3). La función B es una tabla que pasa por (0, 1) y (1, 5), así que su pendiente es (5 − 1)/(1 − 0) = 4. Como 4 > 3, la función B crece más rápido.
Ejemplo 2: La función A se describe con palabras: empieza en 100 y crece 20% cada año. La función B es la tabla (0, 100), (1, 130), (2, 160). A es exponencial — a los 3 años llega a 100(1.2)³ = 172.8. B es lineal, suma 30 por año y llega a 190 en el año 3. B va adelante al principio, pero el factor 1.2 de A acaba superando a cualquier recta.
Ejemplo 3: Error común: comparar solo los valores iniciales o solo un punto. En el año 0 ambas funciones valen 100; en el año 1 la lineal va adelante. Ninguno de esos datos dice cuál crece más rápido. Compara la TASA — pendiente en una función lineal, factor de crecimiento en una exponencial — y recuerda que una exponencial con factor mayor que 1 termina rebasando a toda función lineal, por empinada que sea.
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