La identidad pitagórica
Alineada a F-TF.C.8, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Un punto del círculo unitario es (cos θ, sin θ) y está a distancia 1 del origen, así que x^2 + y^2 = 1 se convierte en sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1. Dado un valor y el cuadrante, puedes hallar los demás.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Si sin(θ) = 3/5 y θ está en el Cuadrante I, entonces cos^2(θ) = 1 − 9/25 = 16/25, así que cos(θ) = 4/5 (positivo en el Cuadrante I). Luego tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) = (3/5)/(4/5) = 3/4.
Ejemplo 2
Si cos(θ) = −5/13 y θ está en el tercer cuadrante, halla sen(θ) y tan(θ). De sen²(θ) = 1 − 25/169 = 144/169, sen(θ) = ±12/13. El tercer cuadrante hace negativo al seno, así que sen(θ) = −12/13. Entonces tan(θ) = (−12/13)/(−5/13) = 12/5, positiva — como siempre lo es la tangente en el tercer cuadrante.
Ejemplo 3
Error común: escribir sen²θ como sen(θ²). La notación sen²θ significa (sen θ)² — se eleva al cuadrado el RESULTADO, no el ángulo. Con θ = 30°, sen²(30°) = (0.5)² = 0.25, mientras que sen(900°) es un número completamente distinto. La identidad es (sen θ)² + (cos θ)² = 1, y leerla de otro modo la vuelve falsa.
Preguntas de práctica
- Si cos(θ) = 0.6, halla sin^2(θ).
- Si cos(θ) = −12/13 y θ está en el Cuadrante II, halla sin(θ).
- Dado sin(θ) = √2/2 en el Cuadrante I, halla cos(θ) y tan(θ).
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