Modelar fenómenos periódicos
Alineada a F-TF.B.5, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Una sinusoide y = A × sin(B(x − C)) + D modela datos que se repiten. A es la amplitud (la mitad de la distancia de cresta a valle), D es la línea media, y el periodo es 2 × pi / B.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Una rueda de la fortuna lleva a los pasajeros entre 2 m y 20 m cada 60 segundos. Línea media D = (2 + 20)/2 = 11, amplitud A = (20 − 2)/2 = 9, y un periodo de 60 da B = 2 × pi / 60 = pi/30. Así, la altura ≈ 9 × sin((pi/30) × t) + 11.
Ejemplo 2
Una marea oceánica va de un mínimo de 0.4 m a un máximo de 3.6 m, con unas 12.4 horas entre pleamares consecutivas. Línea media = (3.6 + 0.4)/2 = 2.0 m, amplitud = (3.6 − 0.4)/2 = 1.6 m, y B = 2π/12.4, aproximadamente 0.507. Con t medido desde una pleamar, h(t) = 1.6·cos(0.507t) + 2.0.
Ejemplo 3
Error común: elegir seno cuando los datos empiezan en un máximo. El seno arranca en la línea media y sube; el coseno arranca en el máximo. Modelar una rueda de la fortuna que empieza abajo necesita un coseno NEGATIVO, −A·cos(Bt) + D, o un seno con desfase. Mira dónde cae t = 0 en el ciclo — abajo, en medio o arriba — antes de elegir la función.
Preguntas de práctica
- Halla la amplitud y la línea media para valores que van de 4 a 10.
- ¿Cuánto vale B si el periodo es 12?
- Escribe un modelo con seno de amplitud 5, línea media 20 y periodo 8.
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