La Identidad Pitagórica
Alineada a F-TF.C.8, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
En el círculo unitario, un punto (cos θ, sen θ) está a distancia 1 del centro. El teorema de Pitágoras sobre ese radio da sen^2(θ) + cos^2(θ) = 1, que se cumple para todo ángulo y permite hallar una razón a partir de otra.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Si sen θ = 3/5 y θ está en el segundo cuadrante, halla cos θ. Usa cos^2 θ = 1 − sen^2 θ = 1 − 9/25 = 16/25, así que cos θ = ±4/5. En el segundo cuadrante el coseno es negativo, por lo que cos θ = −4/5.
Ejemplo 2
Si tan θ = 3/4 y θ está en el tercer cuadrante, halla sen θ. La tangente es opuesto/adyacente, así que arma un triángulo con catetos 3 y 4 e hipotenusa √(9 + 16) = 5. Eso da |sen θ| = 3/5. En el tercer cuadrante el seno es negativo, así que sen θ = −3/5 y cos θ = −4/5. Comprueba: (−3/5)² + (−4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1 ✓.
Ejemplo 3
Error común: tomar solo la raíz cuadrada positiva. Resolver cos²θ = 16/25 da cos θ = ±4/5 — AMBOS signos están matemáticamente disponibles, y solo el cuadrante decide entre ellos. Quitar el ± y escribir 4/5 supone en silencio el primer cuadrante. Escribe siempre ambos y luego usa la información del cuadrante que el problema te dio para elegir uno.
Preguntas de práctica
- Si cos θ = 5/13 en el primer cuadrante, halla sen θ.
- Verifica sen^2(30°) + cos^2(30°) = 1.
- Si sen θ = −1/2 en el tercer cuadrante, halla cos θ.
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