Demostrar las Leyes de Senos y Cosenos
Alineada a G-SRT.D.10, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
La Ley de Senos dice a/sen A = b/sen B = c/sen C para cualquier triángulo, demostrada trazando una altura y expresándola de dos formas. La Ley de Cosenos, c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C, generaliza el teorema de Pitágoras a cualquier ángulo C.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Demuestra la Ley de Senos con una altura. En el triángulo ABC, traza la altura h desde el vértice C al lado AB. En los dos triángulos rectángulos formados, sen A = h/b y sen B = h/a. Despeja h en cada uno: h = b sen A y h = a sen B. Igualándolos, b sen A = a sen B, que se reordena a a/sen A = b/sen B.
Ejemplo 2
Demuestra la ley de cosenos con coordenadas. Coloca el vértice C en el origen y el lado b sobre el eje x positivo, de modo que A = (b, 0) y B = (a cos C, a sen C). Entonces c² = (a cos C - b)² + (a sen C)² = a² cos²C - 2ab cos C + b² + a² sen²C. Como cos²C + sen²C = 1, esto se reduce a c² = a² + b² - 2ab cos C.
Ejemplo 3
Error común: suponer que la altura siempre cae dentro del triángulo. En un triángulo obtusángulo, la altura desde un vértice cae FUERA del lado opuesto, sobre su prolongación. La demostración de la ley de senos sigue funcionando porque sen(180 - t) = sen t, pero una demostración que supone en silencio un pie interior solo ha cubierto los triángulos acutángulos. Una demostración completa trata ambos casos o usa coordenadas, que nunca dependen de dónde cae el pie.
Preguntas de práctica
- En un triángulo, a = 10, ángulo A = 30°, ángulo B = 45°. Usa la Ley de Senos para hallar b.
- Usa la Ley de Cosenos para hallar el lado c cuando a = 5, b = 7 y ángulo C = 60°.
- Explica cómo la Ley de Cosenos se reduce al teorema de Pitágoras cuando el ángulo C = 90°.
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