Demostraciones con coordenadas
Alineada a G-GPE.B.4, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Colocar una figura en el plano coordenado permite demostrar hechos geométricos con álgebra. Usa la fórmula de distancia para longitudes de lados, la pendiente para lados paralelos o perpendiculares, y la fórmula del punto medio para segmentos bisecados. Elegir coordenadas convenientes (un vértice en el origen) simplifica el álgebra.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Demuestra que las diagonales de un rectángulo son iguales. Coloca los vértices en A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b). La diagonal AC mide raíz((a-0)^2 + (b-0)^2) = raíz(a^2 + b^2). La diagonal BD mide raíz((0-a)^2 + (b-0)^2) = raíz(a^2 + b^2). Las dos longitudes son iguales, así que las diagonales de cualquier rectángulo son congruentes.
Ejemplo 2
Demuestra que los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo. Coloca los vértices en A(0,0), B(2a,0), C(2b,2c), D(2d,2e). Los puntos medios son P(a,0), Q(a+b, c), R(b+d, c+e), S(d, e). La pendiente de PQ es c/b y la de SR es (c+e-e)/(b+d-d) = c/b — iguales, así que PQ es paralela a SR. La misma comprobación con el otro par termina la demostración.
Ejemplo 3
Error común: colocar la figura sin cuidado y perder generalidad. Demostrar algo sobre todos los rectángulos usando los vértices (0,0), (5,0), (5,5), (0,5) lo demuestra solo para un cuadrado de 5 por 5. Usa VARIABLES — (0,0), (a,0), (a,b), (0,b) — para no suponer nada sobre las longitudes. Poner un vértice en el origen y un lado sobre un eje está bien y ahorra cuentas; fijar los números concretos no.
Preguntas de práctica
- Usa la fórmula de distancia para mostrar que el triángulo con vértices (0,0), (4,0), (0,4) es isósceles.
- Demuestra que el segmento que une los puntos medios de dos lados del triángulo (0,0), (6,0), (0,8) es la mitad del tercer lado usando coordenadas.
- Coloca un cuadrado con vértices (0,0), (s,0), (s,s), (0,s) y muestra que sus diagonales tienen igual longitud.
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