Ecuaciones de elipses e hipérbolas

Ejemplo 1

Plantea una elipse con focos (-4, 0) y (4, 0) y suma de distancias 10. Para un punto (x, y): raíz((x+4)^2 + y^2) + raíz((x-4)^2 + y^2) = 10. Aquí 2a = 10, así que a = 5, y c = 4 (distancia focal). Usa b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 16 = 9. La ecuación es x^2/25 + y^2/9 = 1.

Ejemplo 2

Plantea una hipérbola con focos (0, -5) y (0, 5) y diferencia de distancias 8. Los focos están sobre el eje y, así que la hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo: y²/a² - x²/b² = 1. Aquí 2a = 8 da a = 4, y c = 5. Para una hipérbola, b² = c² - a² = 25 - 16 = 9. La ecuación es y²/16 - x²/9 = 1.

Ejemplo 3

Error común: usar la misma fórmula de b para ambas curvas. La elipse usa b² = a² - c² porque los focos están DENTRO y c < a; la hipérbola usa b² = c² - a² porque los focos quedan FUERA de las ramas y c > a. Intercambiarlas da un cuadrado negativo. Revisa primero el orden de c y a: focos dentro significa elipse, focos más allá de los vértices significa hipérbola.