Ecuación de una parábola
Alineada a G-GPE.A.2, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Una parábola es el conjunto de puntos equidistantes de un foco fijo y una recta fija (la directriz). Igualar la distancia al foco con la distancia a la directriz y simplificar da la ecuación. Con foco (0, p) y directriz y = -p, la parábola es y = x^2/(4p).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Halla la ecuación con foco (0, 2) y directriz y = -2. Un punto (x, y) equidista de ambos. Distancia al foco: raíz(x^2 + (y - 2)^2). Distancia a la directriz: y + 2. Iguala y eleva al cuadrado: x^2 + (y - 2)^2 = (y + 2)^2. Desarrolla: x^2 + y^2 - 4y + 4 = y^2 + 4y + 4. Simplifica: x^2 = 8y, así que y = x^2/8.
Ejemplo 2
Halla el foco y la directriz de y = x²/12. Compara con la forma estándar x² = 4py: aquí x² = 12y, así que 4p = 12 y p = 3. El foco queda p unidades arriba del vértice, en (0, 3), y la directriz es la recta horizontal p unidades abajo, y = -3. Comprueba el punto (6, 3) de la curva: su distancia al foco es 6, y su distancia a y = -3 es 3 + 3 = 6.
Ejemplo 3
Error común: confundir p con el coeficiente. En y = x²/8 el número 8 es 4p, así que p = 2 y el foco está en (0, 2) — no en (0, 8) ni en (0, 1/8). Una comprobación útil: cuanto mayor es p, MÁS ABIERTA es la parábola, porque el foco y la directriz se separan. Si tu foco calculado hace que una parábola angosta parezca ancha, revisa el 4.
Preguntas de práctica
- Una parábola tiene foco (0, 3) y directriz y = -3. Plantea la ecuación de igual distancia.
- Deduce la ecuación para foco (0, 1) y directriz y = -1.
- Para y = x^2/12, identifica el valor de p e indica el foco y la directriz.
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