Proving Triangle Theorems
Aligned to G-CO.C.10 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
Key triangle theorems follow from congruence and parallel-line angles. The angle-sum theorem says the interior angles of any triangle add to 180°. The isosceles triangle theorem says base angles opposite equal sides are equal. The midsegment joining two side midpoints is parallel to the third side and half its length.
Worked examples
Example 1
Prove the triangle angle sum is 180°. Through vertex A of triangle ABC, draw a line parallel to base BC. The two angles this line makes with sides AB and AC are alternate interior angles equal to angle B and angle C. Along the straight line at A, these two angles plus angle A form a straight angle: angle B + angle A + angle C = 180°.
Example 2
Prove the base angles of an isosceles triangle are equal. In triangle ABC with AB = AC, draw the bisector of angle A, meeting BC at D. Then AB = AC (given), angle BAD = angle CAD (by construction), and AD = AD (shared side). By SAS, triangle ABD = triangle ACD, so the corresponding angles B and C are equal.
Example 3
Common mistake: using in the proof the very thing you are proving. A student proving the base angles equal sometimes writes since angle B = angle C... partway through — that is the conclusion, not a reason. Every line of a proof must cite a given, a definition, a construction, or a theorem already proved. If you cannot name which of those four a line comes from, the line is an assumption and the proof is circular.
Practice questions
- A triangle has angles 40° and 75°. Find the third angle.
- An isosceles triangle has a vertex angle of 50°. Find each base angle.
- A triangle has sides of length 10 and 14 with a midsegment joining their midpoints. What is the length of that midsegment if it is parallel to the third side of length 12?
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Demostrar teoremas de triángulos
Los teoremas clave de triángulos se derivan de la congruencia y de los ángulos de líneas paralelas. El teorema de la suma de ángulos dice que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180°. El teorema del triángulo isósceles dice que los ángulos base opuestos a lados iguales son iguales. El segmento medio que une dos puntos medios de lados es paralelo al tercer lado y mide la mitad.
Ejemplo 1: Demuestra que la suma de ángulos del triángulo es 180°. Por el vértice A del triángulo ABC, traza una línea paralela a la base BC. Los dos ángulos que forma esa línea con los lados AB y AC son ángulos alternos internos iguales a los ángulos B y C. Sobre la recta en A, esos dos ángulos más el ángulo A forman un ángulo llano: ángulo B + ángulo A + ángulo C = 180°.
Ejemplo 2: Demuestra que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. En el triángulo ABC con AB = AC, traza la bisectriz del ángulo A, que corta a BC en D. Entonces AB = AC (dado), ángulo BAD = ángulo CAD (por construcción) y AD = AD (lado común). Por LAL, el triángulo ABD = el triángulo ACD, así que los ángulos correspondientes B y C son iguales.
Ejemplo 3: Error común: usar en la demostración justo aquello que se quiere demostrar. Al probar que los ángulos de la base son iguales, a veces se escribe a mitad de camino como el ángulo B = el ángulo C... — eso es la conclusión, no una razón. Cada línea de una demostración debe citar un dato, una definición, una construcción o un teorema ya demostrado. Si no puedes nombrar cuál de esos cuatro respalda una línea, esa línea es una suposición y la demostración es circular.
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