El Teorema Fundamental del Álgebra
Alineada a N-CN.C.9, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Este es un estándar avanzado (+). El Teorema Fundamental del Álgebra establece que todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces entre los números complejos, contando la multiplicidad. Por lo tanto, una cuadrática (grado 2) siempre tiene dos raíces.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Considera x^2 + 2x + 5, que tiene grado 2. Al resolver se obtiene x = (−2 ± √(4 − 20))/2 = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i — exactamente dos raíces complejas, tal como predice el teorema.
Ejemplo 2
Considera p(x) = x³ − 1, de grado 3. Una raíz es evidente: x = 1. Factorízala: x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1). La cuadrática da x = (−1 ± √(1 − 4))/2 = (−1 ± i√3)/2. Tres raíces para una cúbica, exactamente como garantiza el teorema — una real y dos complejas conjugadas.
Ejemplo 3
Error común: contar raíces distintas y concluir que el teorema falló. p(x) = (x − 3)² tiene grado 2 pero solo una raíz visible, x = 3. El teorema cuenta las raíces CON MULTIPLICIDAD: aquí x = 3 aparece dos veces, así que el conteo sigue siendo 2. Igual, x⁴ = 0 tiene la única raíz 0 con multiplicidad 4. Suma los exponentes de los factores y el total siempre iguala al grado.
Preguntas de práctica
- ¿Cuántas raíces tiene un polinomio de grado 5 entre los números complejos?
- Muestra que x^2 + 1 tiene exactamente dos raíces.
- Explica por qué una cuadrática con discriminante negativo todavía tiene dos raíces.
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