Cuadráticas con soluciones complejas
Alineada a N-CN.C.7, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Cuando el discriminante b^2 − 4ac es negativo, la fórmula cuadrática produce soluciones complejas que contienen i. Estas soluciones siempre aparecen como un par conjugado.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Resuelve x^2 − 2x + 5 = 0. Aquí x = (2 ± √(4 − 20))/2 = (2 ± √(−16))/2 = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i.
Ejemplo 2
Resuelve 2x² + 2x + 5 = 0. Aquí a = 2, b = 2, c = 5, así que b² − 4ac = 4 − 40 = −36. Entonces x = (−2 ± √(−36))/4 = (−2 ± 6i)/4 = −1/2 ± (3/2)i. Nota que las dos raíces son conjugadas — eso siempre ocurre cuando una cuadrática tiene coeficientes reales.
Ejemplo 3
Error común: olvidar dividir AMBAS partes entre 2a. De x = (4 ± 6i)/2 la respuesta es 2 ± 3i, no 4 ± 3i ni 2 ± 6i — el denominador divide por igual la parte real y la imaginaria. Separa la fracción explícitamente, 4/2 ± (6/2)i, y así no se salta ninguna mitad.
Preguntas de práctica
- Resuelve x^2 + 9 = 0.
- Resuelve x^2 + 1 = 0.
- Resuelve x^2 − 4x + 13 = 0 usando la fórmula cuadrática.
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