Resolver ecuaciones exponenciales con logaritmos
Alineada a F-LE.A.4, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Para resolver a × b^(ct) = d en t, primero aísla la potencia, luego aplica un logaritmo: t = log_b(d/a) / c. Una calculadora evalúa el logaritmo.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Resuelve 5 × 2^t = 40. Divide ambos lados entre 5 para obtener 2^t = 8. Entonces t = log_2(8) = 3, ya que 2^3 = 8.
Ejemplo 2
Una inversión de $3,000 crece 6% por año. ¿Cuándo llega a $5,000? Resuelve 3000(1.06)^t = 5000, así que (1.06)^t = 5/3. Toma el logaritmo de ambos lados: t·log(1.06) = log(1.6667), entonces t = 0.2218/0.0253, unos 8.8 años.
Ejemplo 3
Error común: dividir entre la base en vez de tomar un logaritmo. De 2^x = 8, escribir x = 8/2 = 4 parece plausible pero está mal — la respuesta es 3, porque el exponente es lo que se busca, y la división no puede alcanzarlo. La única manera de bajar de un exponente es un logaritmo (o reconocer la potencia de inmediato).
Preguntas de práctica
- Resuelve 3^t = 81 escribiendo t como un logaritmo.
- Resuelve 100 × 10^t = 100000 para t.
- Expresa la solución de 4 × 3^(2t) = 36 como un logaritmo y luego evalúala.
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