Cuadráticas con Soluciones Complejas
Alineada a N-CN.C.7, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Cuando una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene discriminante negativo, sus soluciones son complejas. La fórmula cuadrática sigue funcionando — la raíz cuadrada del número negativo produce la parte imaginaria.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Resuelve x^2 − 4x + 13 = 0. Usando x = (−b ± √(b^2 − 4ac))/(2a): x = (4 ± √(16 − 52))/2 = (4 ± √(−36))/2. Como √(−36) = 6i, x = (4 ± 6i)/2 = 2 ± 3i.
Ejemplo 2
Resuelve x² + 9 = 0. Resta: x² = −9, así que x = ±√(−9) = ±3i. Las dos soluciones 3i y −3i son conjugadas, y la gráfica de y = x² + 9 nunca toca el eje x — ese es el significado visual de no tener raíces reales.
Ejemplo 3
Error común: concluir que no hay solución cuando el discriminante es negativo. Para x² − 2x + 5 = 0, b² − 4ac = 4 − 20 = −16. Eso no es el final: √(−16) = 4i, así que x = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i. En los números reales no hay solución; en los complejos siempre hay exactamente dos. Di en qué sistema numérico estás respondiendo.
Preguntas de práctica
- Resuelve x^2 + 9 = 0.
- Resuelve x^2 − 2x + 5 = 0.
- Resuelve x^2 + 6x + 10 = 0.
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