Significado de los Exponentes Racionales
Alineada a N-RN.A.1, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Los exponentes racionales se definen para que la regla a^m × a^n = a^(m+n) siga funcionando. Si a^(1/2) × a^(1/2) debe ser igual a a^1 = a, entonces a^(1/2) tiene que ser √a, y en general a^(1/n) es la raíz enésima de a.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
¿Por qué 8^(1/3) = 2? Por la regla de exponentes, (8^(1/3))^3 = 8^(3/3) = 8^1 = 8. Así que 8^(1/3) es el número que elevado al cubo da 8, es decir, 2. Esto obliga a que a^(1/3) signifique la raíz cúbica.
Ejemplo 2
¿Por qué 9^(1/2) = 3? La regla de exponentes (a^m)^n = a^(mn) debe seguir funcionando, así que (9^(1/2))² = 9^(2/2) = 9. Eso significa que 9^(1/2) es un número cuyo cuadrado es 9, es decir 3. El mismo argumento hace que a^(1/n) sea la raíz n-ésima: es la única definición que conserva la regla.
Ejemplo 3
Error común: esperar que a^(1/n) esté definido para cualquier base. Cuando n es par, una base negativa no tiene valor real: (−16)^(1/2) necesitaría un número real cuyo cuadrado fuera −16, y no existe. Cuando n es impar sí funciona: (−8)^(1/3) = −2, porque (−2)³ = −8. Revisa si el índice de la raíz es par antes de suponer que hay respuesta real.
Preguntas de práctica
- Explica por qué 25^(1/2) debe ser igual a 5 y no 12.5.
- Usa las reglas de exponentes para mostrar que (a^(1/4))^4 = a.
- ¿A qué número debe ser igual 27^(1/3), y por qué?
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