Círculos inscritos y circunscritos
Alineada a G-C.A.3, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
El círculo circunscrito de un triángulo pasa por sus tres vértices; su centro está donde se cruzan las mediatrices de los lados. El círculo inscrito es tangente a los tres lados; su centro está donde se cruzan las bisectrices de los ángulos. Para un cuadrilátero inscrito en un círculo, los ángulos opuestos son suplementarios.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Un cuadrilátero ABCD está inscrito en un círculo con ángulo A = 85°. Halla el ángulo C. En un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos son suplementarios, así que ángulo A + ángulo C = 180°. Entonces ángulo C = 180 - 85 = 95°. La misma regla da ángulo B + ángulo D = 180°.
Ejemplo 2
Construye el círculo circunscrito de un triángulo. El circuncentro es el único punto equidistante de los tres vértices, así que debe estar sobre la mediatriz de cada lado. Construye las mediatrices de dos lados cualesquiera; donde se cruzan está el circuncentro O. Abre el compás a la distancia de O a cualquier vértice y traza — el círculo pasa por los tres.
Ejemplo 3
Error común: intercambiar los dos centros. El círculo INSCRITO toca los tres LADOS y su centro es donde se cortan las BISECTRICES de los ángulos; el círculo CIRCUNSCRITO pasa por los tres VÉRTICES y su centro es donde se cortan las MEDIATRICES de los lados. Son puntos distintos en casi todo triángulo — solo coinciden en el equilátero. Pregúntate qué debe tocar el círculo: lados significa bisectrices, vértices significa mediatrices.
Preguntas de práctica
- Un cuadrilátero cíclico tiene ángulo B = 110°. Halla el ángulo D.
- ¿Qué tres líneas debes construir para hallar el centro del círculo circunscrito de un triángulo?
- El círculo inscrito de un triángulo es tangente a cada lado. ¿La intersección de qué líneas ubica su centro?
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