Construir una tangente desde un punto externo

Ejemplo 1

Construye una tangente desde el punto externo P a un círculo con centro O. Traza el segmento OP y halla su punto medio M. Traza un círculo centrado en M con radio MO; pasa por O y por P. Este nuevo círculo corta el círculo original en el punto T. Como el ángulo OTP está inscrito en un semicírculo, mide 90°, así que TP es perpendicular al radio OT — es decir, TP es tangente.

Ejemplo 2

Usa la construcción de la tangente para hallar una longitud. Desde un punto exterior P, los dos segmentos tangentes PT y PS a un círculo siempre son iguales, porque los triángulos OTP y OSP son triángulos rectángulos congruentes que comparten la hipotenusa OP y tienen catetos iguales OT = OS = r. Así que si una banda rodea una polea y la toca en T y S, los dos tramos rectos desde P miden lo mismo — un hecho del que depende todo diseño mecánico.

Ejemplo 3

Error común: trazar el círculo auxiliar con el centro equivocado. La construcción necesita un círculo que tenga OP como DIÁMETRO, así que su centro es el PUNTO MEDIO de OP, no O ni P. Centrarlo en O solo vuelve a dibujar un círculo alrededor del mismo centro y nunca produce el ángulo recto. Todo el argumento se apoya en Tales: un ángulo inscrito en un semicírculo mide 90°, y eso solo vale cuando OP es el diámetro.