Constructing a Tangent from an External Point
Aligned to G-C.A.4 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
From a point outside a circle, exactly two tangent lines touch the circle. The construction uses the fact that a tangent meets the radius at a right angle, so the tangent point lies on a circle with the segment from the center to the external point as diameter (Thales' theorem).
Worked examples
Example 1
Construct a tangent from external point P to a circle with center O. Draw segment OP and find its midpoint M. Draw a circle centered at M with radius MO; it passes through both O and P. This new circle crosses the original circle at point T. Because angle OTP is inscribed in a semicircle, it is 90°, so TP is perpendicular to radius OT — meaning TP is tangent.
Example 2
Use the tangent construction to find a length. From external point P, the two tangent segments PT and PS to a circle are always equal, because triangles OTP and OSP are congruent right triangles sharing hypotenuse OP with equal legs OT = OS = r. So if a belt wraps a pulley and touches at T and S, the two straight runs from P have the same length — a fact every mechanical layout relies on.
Example 3
Common mistake: drawing the helper circle with the wrong center. The construction needs a circle on OP as DIAMETER, so its center is the MIDPOINT of OP, not O and not P. Centering it at O just redraws a circle around the same center and never produces the right angle. The whole argument rests on Thales: an angle inscribed in a semicircle is 90°, and that only holds when OP is the diameter.
Practice questions
- Why does the midpoint circle guarantee angle OTP is a right angle?
- How many tangent lines can be drawn to a circle from a point outside it?
- If OP = 10 and the radius OT = 6, use the right angle at T to find the tangent length PT.
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Construir una tangente desde un punto externo
Desde un punto fuera de un círculo, exactamente dos líneas tangentes tocan el círculo. La construcción usa que una tangente forma un ángulo recto con el radio, así que el punto de tangencia está sobre un círculo cuyo diámetro es el segmento del centro al punto externo (teorema de Tales).
Ejemplo 1: Construye una tangente desde el punto externo P a un círculo con centro O. Traza el segmento OP y halla su punto medio M. Traza un círculo centrado en M con radio MO; pasa por O y por P. Este nuevo círculo corta el círculo original en el punto T. Como el ángulo OTP está inscrito en un semicírculo, mide 90°, así que TP es perpendicular al radio OT — es decir, TP es tangente.
Ejemplo 2: Usa la construcción de la tangente para hallar una longitud. Desde un punto exterior P, los dos segmentos tangentes PT y PS a un círculo siempre son iguales, porque los triángulos OTP y OSP son triángulos rectángulos congruentes que comparten la hipotenusa OP y tienen catetos iguales OT = OS = r. Así que si una banda rodea una polea y la toca en T y S, los dos tramos rectos desde P miden lo mismo — un hecho del que depende todo diseño mecánico.
Ejemplo 3: Error común: trazar el círculo auxiliar con el centro equivocado. La construcción necesita un círculo que tenga OP como DIÁMETRO, así que su centro es el PUNTO MEDIO de OP, no O ni P. Centrarlo en O solo vuelve a dibujar un círculo alrededor del mismo centro y nunca produce el ángulo recto. Todo el argumento se apoya en Tales: un ángulo inscrito en un semicírculo mide 90°, y eso solo vale cuando OP es el diámetro.
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