Arc Length, Radians, and Sector Area
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What this lesson teaches
Arc length is proportional to the radius: for a central angle, arc = radius times the angle in radians. One radian is the angle whose arc equals the radius, so a full circle is 2*pi radians. The area of a sector is a fraction of the circle's area equal to the fraction of the full angle it covers.
Worked examples
Example 1
Find the arc length and sector area for a 90° angle in a circle of radius 6. Convert 90° to radians: 90 = pi/2. Arc length = radius * angle = 6 * (pi/2) = 3*pi, about 9.42 units. Sector area = (angle/360)*pi*r^2 = (90/360)*pi*36 = (1/4)*36*pi = 9*pi, about 28.27 square units.
Example 2
A bicycle wheel has radius 13 inches and turns through 2.5 radians. How far does the contact point travel? Arc length s = r × t = 13 × 2.5 = 32.5 inches. Note that no degrees and no pi appear anywhere — this is exactly why radian measure exists: it turns arc length into plain multiplication.
Example 3
Common mistake: using degrees directly in s = r × t. For a 60° angle on a circle of radius 9, writing s = 9 × 60 = 540 is wrong by a factor of about 57. The formula requires RADIANS: 60° = 60 × pi/180 = pi/3, so s = 9 × pi/3 = 3pi, about 9.42. Either convert to radians first, or use the degree form s = (t/360) × 2 × pi × r — but never mix them.
Practice questions
- Convert 60° to radians.
- Find the arc length for a central angle of 2 radians in a circle of radius 5.
- Find the area of a sector with central angle 120° in a circle of radius 9.
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Longitud de arco, radianes y área del sector
La longitud de arco es proporcional al radio: para un ángulo central, arco = radio por el ángulo en radianes. Un radián es el ángulo cuyo arco es igual al radio, así que un círculo completo es 2*pi radianes. El área de un sector es una fracción del área del círculo igual a la fracción del ángulo total que cubre.
Ejemplo 1: Halla la longitud de arco y el área del sector para un ángulo de 90° en un círculo de radio 6. Convierte 90° a radianes: 90 = pi/2. Longitud de arco = radio * ángulo = 6 * (pi/2) = 3*pi, unos 9.42 unidades. Área del sector = (ángulo/360)*pi*r^2 = (90/360)*pi*36 = (1/4)*36*pi = 9*pi, unos 28.27 unidades cuadradas.
Ejemplo 2: Una rueda de bicicleta tiene radio de 13 pulgadas y gira 2.5 radianes. ¿Cuánto recorre el punto de contacto? Longitud de arco s = r × t = 13 × 2.5 = 32.5 pulgadas. Observa que no aparecen grados ni pi por ningún lado — precisamente para eso existe la medida en radianes: convierte la longitud de arco en una simple multiplicación.
Ejemplo 3: Error común: usar grados directamente en s = r × t. Para un ángulo de 60° en un círculo de radio 9, escribir s = 9 × 60 = 540 se equivoca por un factor de unos 57. La fórmula exige RADIANES: 60° = 60 × pi/180 = pi/3, así que s = 9 × pi/3 = 3pi, unos 9.42. O conviertes a radianes primero, o usas la forma en grados s = (t/360) × 2 × pi × r — pero nunca las mezcles.
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