Inscribed and Circumscribed Circles
Aligned to G-C.A.3 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
The circumscribed circle of a triangle passes through all three vertices; its center is where the perpendicular bisectors of the sides meet. The inscribed circle is tangent to all three sides; its center is where the angle bisectors meet. For a quadrilateral inscribed in a circle, opposite angles are supplementary.
Worked examples
Example 1
A quadrilateral ABCD is inscribed in a circle with angle A = 85°. Find angle C. In a cyclic quadrilateral, opposite angles are supplementary, so angle A + angle C = 180°. Then angle C = 180 - 85 = 95°. The same rule gives angle B + angle D = 180°.
Example 2
Construct the circumscribed circle of a triangle. The circumcenter is the one point equidistant from all three vertices, so it must lie on the perpendicular bisector of each side. Construct the perpendicular bisectors of any two sides; where they cross is the circumcenter O. Set the compass to the distance from O to any vertex and draw — the circle passes through all three.
Example 3
Common mistake: swapping the two centers. The INcircle touches all three SIDES and its center is where the ANGLE bisectors meet; the CIRCUMcircle passes through all three VERTICES and its center is where the PERPENDICULAR BISECTORS of the sides meet. These are different points in almost every triangle — they coincide only in an equilateral one. Ask what the circle must touch: sides means angle bisectors, vertices means perpendicular bisectors.
Practice questions
- A cyclic quadrilateral has angle B = 110°. Find angle D.
- Which three lines must you construct to find the center of a triangle's circumscribed circle?
- The inscribed circle of a triangle is tangent to each side. What lines' intersection locates its center?
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Círculos inscritos y circunscritos
El círculo circunscrito de un triángulo pasa por sus tres vértices; su centro está donde se cruzan las mediatrices de los lados. El círculo inscrito es tangente a los tres lados; su centro está donde se cruzan las bisectrices de los ángulos. Para un cuadrilátero inscrito en un círculo, los ángulos opuestos son suplementarios.
Ejemplo 1: Un cuadrilátero ABCD está inscrito en un círculo con ángulo A = 85°. Halla el ángulo C. En un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos son suplementarios, así que ángulo A + ángulo C = 180°. Entonces ángulo C = 180 - 85 = 95°. La misma regla da ángulo B + ángulo D = 180°.
Ejemplo 2: Construye el círculo circunscrito de un triángulo. El circuncentro es el único punto equidistante de los tres vértices, así que debe estar sobre la mediatriz de cada lado. Construye las mediatrices de dos lados cualesquiera; donde se cruzan está el circuncentro O. Abre el compás a la distancia de O a cualquier vértice y traza — el círculo pasa por los tres.
Ejemplo 3: Error común: intercambiar los dos centros. El círculo INSCRITO toca los tres LADOS y su centro es donde se cortan las BISECTRICES de los ángulos; el círculo CIRCUNSCRITO pasa por los tres VÉRTICES y su centro es donde se cortan las MEDIATRICES de los lados. Son puntos distintos en casi todo triángulo — solo coinciden en el equilátero. Pregúntate qué debe tocar el círculo: lados significa bisectrices, vértices significa mediatrices.
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