Angles, Chords, Radii, and Tangents
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What this lesson teaches
Circle relationships connect angles to arcs. An inscribed angle equals half the central angle that subtends the same arc. A tangent line is perpendicular to the radius drawn to the point of tangency. An inscribed angle that subtends a diameter is a right angle.
Worked examples
Example 1
An inscribed angle subtends an arc of 80°. Find the inscribed angle. The inscribed-angle theorem says an inscribed angle is half the central angle (which equals its arc). So the inscribed angle = 80/2 = 40°. If a second inscribed angle subtends the same arc, it is also 40°, since all inscribed angles on the same arc are equal.
Example 2
A tangent line touches a circle at point T, and O is the center. Find the angle between the tangent and radius OT. A tangent meets the circle at exactly one point, and the radius drawn to that point is always perpendicular to it, so angle OTP = 90°. This is why a tangent from external point P with OP = 13 and radius 5 gives PT = sqrt(13² - 5²) = sqrt(144) = 12 by the Pythagorean theorem.
Example 3
Common mistake: halving a CENTRAL angle. The inscribed angle is half its intercepted arc; the central angle EQUALS its arc. If a central angle measures 80°, the arc is 80° and an inscribed angle on that arc is 40° — but the central angle itself stays 80°, not 40°. Ask where the vertex sits: on the circle means halve, at the center means do not.
Practice questions
- A central angle measures 120°. Find the inscribed angle subtending the same arc.
- A triangle is inscribed in a circle with one side a diameter. What is the angle opposite that diameter?
- A tangent touches a circle at point T, and O is the center. What is the measure of angle OTP where P is on the tangent line?
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Ángulos, cuerdas, radios y tangentes
Las relaciones del círculo conectan ángulos con arcos. Un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco. Una línea tangente es perpendicular al radio trazado al punto de tangencia. Un ángulo inscrito que subtiende un diámetro es un ángulo recto.
Ejemplo 1: Un ángulo inscrito subtiende un arco de 80°. Halla el ángulo inscrito. El teorema del ángulo inscrito dice que un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central (que equivale a su arco). Así, el ángulo inscrito = 80/2 = 40°. Si un segundo ángulo inscrito subtiende el mismo arco, también mide 40°, pues todos los ángulos inscritos sobre el mismo arco son iguales.
Ejemplo 2: Una recta tangente toca un círculo en el punto T, y O es el centro. Halla el ángulo entre la tangente y el radio OT. Una tangente toca el círculo en exactamente un punto, y el radio trazado a ese punto siempre es perpendicular a ella, así que el ángulo OTP = 90°. Por eso una tangente desde un punto exterior P con OP = 13 y radio 5 da PT = sqrt(13² - 5²) = sqrt(144) = 12 por el teorema de Pitágoras.
Ejemplo 3: Error común: dividir a la mitad un ángulo CENTRAL. El ángulo inscrito es la mitad del arco que abarca; el ángulo central es IGUAL a su arco. Si un ángulo central mide 80°, el arco mide 80° y un ángulo inscrito sobre ese arco mide 40° — pero el ángulo central sigue siendo 80°, no 40°. Pregúntate dónde está el vértice: sobre el círculo significa dividir a la mitad, en el centro significa no hacerlo.
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