All Circles Are Similar
Aligned to G-C.A.1 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
Any two circles are similar because a dilation can scale one exactly onto the other. Take the two centers; translate so they coincide, then dilate by the ratio of the radii. Since a circle is determined entirely by its center and radius, matching them makes the circles coincide.
Worked examples
Example 1
Prove circle with radius 3 is similar to circle with radius 7. First translate the small circle so its center sits on the big circle's center. Then dilate about that shared center with scale factor 7/3. Every point 3 units from the center moves to 7 units from the center, so the small circle maps exactly onto the big one. A rigid motion plus a dilation exists, so the circles are similar.
Example 2
Show that all circles are similar using equations. The circle x² + y² = 4 has radius 2; the circle (x - 5)² + (y - 1)² = 36 has center (5, 1) and radius 6. Translate the first by (5, 1) to match centers, then dilate about (5, 1) by 6/2 = 3. Every point 2 units from the center goes to 3 × 2 = 6 units out, landing exactly on the second circle.
Example 3
Common mistake: confusing similar with congruent, or thinking circles of different sizes cannot be similar. Two circles are ALWAYS similar, whatever their radii, because a dilation can rescale any radius to any other. They are congruent only when the radii are equal. The same distinction shows up in the ratios: similar circles have circumferences in the ratio k, but areas in the ratio k² — a circle twice as wide has four times the area.
Practice questions
- What scale factor maps a circle of radius 4 onto a circle of radius 10?
- Explain why you never need to check angles to prove two circles are similar.
- Two circles have radii 5 and 5 but different centers. What single transformation maps one onto the other?
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Todos los círculos son semejantes
Dos círculos cualesquiera son semejantes porque una dilatación puede escalar uno exactamente sobre el otro. Toma los dos centros; traslada para que coincidan, luego dilata por la razón de los radios. Como un círculo queda determinado por su centro y su radio, hacerlos coincidir hace que los círculos coincidan.
Ejemplo 1: Demuestra que el círculo de radio 3 es semejante al de radio 7. Primero traslada el círculo pequeño para que su centro quede sobre el centro del grande. Luego dilata sobre ese centro compartido con factor de escala 7/3. Cada punto a 3 unidades del centro se mueve a 7 unidades del centro, así que el círculo pequeño se mapea exactamente sobre el grande. Existe un movimiento rígido más una dilatación, así que los círculos son semejantes.
Ejemplo 2: Muestra que todos los círculos son semejantes usando ecuaciones. El círculo x² + y² = 4 tiene radio 2; el círculo (x - 5)² + (y - 1)² = 36 tiene centro (5, 1) y radio 6. Traslada el primero por (5, 1) para hacer coincidir los centros y luego dilata alrededor de (5, 1) con factor 6/2 = 3. Todo punto a 2 unidades del centro pasa a estar a 3 × 2 = 6 unidades, justo sobre el segundo círculo.
Ejemplo 3: Error común: confundir semejante con congruente, o pensar que círculos de distinto tamaño no pueden ser semejantes. Dos círculos SIEMPRE son semejantes, cualesquiera que sean sus radios, porque una dilatación puede reescalar cualquier radio a cualquier otro. Son congruentes solo cuando los radios son iguales. La misma distinción aparece en las razones: los círculos semejantes tienen circunferencias en razón k, pero áreas en razón k² — un círculo del doble de ancho tiene cuatro veces el área.
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