Círculos y geometría en el plano coordenado
Alineada a G-GPE.A.1, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
La ecuación de un círculo proviene de la fórmula de la distancia: cada punto del círculo está a la misma distancia —el radio— del centro. Un círculo con centro en (h, k) y radio r tiene la ecuación (x - h) al cuadrado más (y - k) al cuadrado igual a r al cuadrado.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Un círculo con centro en (0, 0) y radio 5 tiene la ecuación x al cuadrado más y al cuadrado igual a 25, ya que 5 al cuadrado es 25.
Ejemplo 2
Un círculo con centro (3, -1) y radio 4 tiene la ecuación (x - 3)² + (y + 1)² = 16. Comprueba el punto (7, -1): (7 - 3)² + (-1 + 1)² = 16 + 0 = 16, así que está en el círculo, exactamente 4 unidades a la derecha del centro.
Ejemplo 3
Error común: leer al revés los signos del centro. En (x - h)² + (y - k)² = r², el centro es (h, k), así que (x + 5)² + (y - 2)² = 9 tiene centro (-5, 2) y NO (5, -2). Reescribe cada suma como resta de un negativo — (x + 5) = (x - (-5)) — y el signo deja de invertirse. El radio también es r, no r²: aquí r = 3, no 9.
Preguntas de práctica
- Escribe la ecuación de un círculo con centro en el origen y radio 3.
- ¿Cuál es el radio si la ecuación es x al cuadrado + y al cuadrado = 49?
- ¿Cuál es el centro de (x - 2) al cuadrado + (y + 1) al cuadrado = 16?
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