Inscribing Regular Polygons
Aligned to G-CO.D.13 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
An equilateral triangle, square, and regular hexagon can each be inscribed in a circle using compass and straightedge. The hexagon is special: the radius of the circle equals the length of each side, so stepping the radius around the circle marks six vertices.
Worked examples
Example 1
Inscribe a regular hexagon in a circle of radius r. Keep the compass set to r. Start at any point on the circle and mark an arc of radius r to find the next vertex; repeat around the circle. Because a chord equal to the radius subtends a 60° central angle, and 360/60 = 6, you land exactly back at the start after six steps, giving six equally spaced vertices of a regular hexagon.
Example 2
Inscribe a square in a circle. Draw any diameter AC through center O. Construct the perpendicular bisector of AC: it passes through O and meets the circle at B and D. The four points A, B, C, D are each 90° apart around the circle, so connecting them in order gives a square. Each side subtends a 90° central angle, and 360/90 = 4.
Example 3
Common mistake: spacing the vertices by eye and assuming the polygon is regular. Marking six points that look evenly spaced on a circle gives a hexagon, but not a REGULAR one — the sides will differ by however much your eye was off, and the error compounds as you go around. A construction is regular only when every step is forced: a compass set to the radius, or a bisected central angle. If the last vertex does not land exactly on the first, the spacing was not exact.
Practice questions
- Why does setting the compass to the circle's radius produce exactly six hexagon vertices?
- To inscribe a square, you first draw two perpendicular diameters. Why do their four endpoints form a square?
- Connecting every other vertex of an inscribed regular hexagon gives what regular polygon?
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Inscribir polígonos regulares
Un triángulo equilátero, un cuadrado y un hexágono regular pueden inscribirse en un círculo con compás y regla. El hexágono es especial: el radio del círculo es igual a la longitud de cada lado, así que marcar el radio alrededor del círculo señala seis vértices.
Ejemplo 1: Inscribe un hexágono regular en un círculo de radio r. Mantén el compás abierto en r. Empieza en cualquier punto del círculo y marca un arco de radio r para hallar el siguiente vértice; repite alrededor del círculo. Como una cuerda igual al radio subtiende un ángulo central de 60°, y 360/60 = 6, regresas exactamente al inicio tras seis pasos, dando seis vértices igualmente espaciados de un hexágono regular.
Ejemplo 2: Inscribe un cuadrado en un círculo. Traza un diámetro cualquiera AC por el centro O. Construye la mediatriz de AC: pasa por O y corta el círculo en B y D. Los cuatro puntos A, B, C, D quedan separados 90° alrededor del círculo, así que unirlos en orden da un cuadrado. Cada lado subtiende un ángulo central de 90°, y 360/90 = 4.
Ejemplo 3: Error común: espaciar los vértices a ojo y suponer que el polígono es regular. Marcar seis puntos que parecen bien repartidos en un círculo da un hexágono, pero no uno REGULAR — los lados diferirán según lo que haya fallado el ojo, y el error se acumula al dar la vuelta. Una construcción es regular solo cuando cada paso queda forzado: un compás abierto al radio, o un ángulo central bisecado. Si el último vértice no cae exactamente sobre el primero, el espaciado no era exacto.
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